Để tìm \( m, n \in \mathbb{N}^* \) sao cho \( 2^m - 2^n = 256 \), ta có thể biểu diễn phương trình như sau:

\[ 2^m - 2^n = 256 \]

Ta có thể viết lại phương trình này thành:

\[ 2^n (2^{m-n} - 1) = 256 \]

Ghi nhớ rằng \( 256 = 2^8 \), nên ta có:

\[ 2^n (2^{m-n} - 1) = 2^8 \]

Vì \( 2^n \) và \( 2^{m-n} - 1 \) đều là số nguyên dương, điều này có nghĩa là \( 2^n \) phải là một lũy thừa của 2. Có thể có các khả năng sau:

1. \( 2^n = 2^8 \) và \( 2^{m-n} - 1 = 1 \)
2. \( 2^n = 2^7 \) và \( 2^{m-n} - 1 = 2 \)
3. \( 2^n = 2^6 \) và \( 2^{m-n} - 1 = 4 \)
4. \( 2^n = 2^5 \) và \( 2^{m-n} - 1 = 8 \)
5. \( 2^n = 2^4 \) và \( 2^{m-n} - 1 = 16 \)
6. \( 2^n = 2^3 \) và \( 2^{m-n} - 1 = 32 \)
7. \( 2^n = 2^2 \) và \( 2^{m-n} - 1 = 64 \)
8. \( 2^n = 2^1 \) và \( 2^{m-n} - 1 = 128 \)

Xét từng trường hợp:

1. Nếu \( 2^n = 256 \): thì \( n = 8 \) và \( 2^{m-n} - 1 = 1 \) -> \( m-n = 1 \) -> \( m = 9 \).

Kết quả: \( (m, n) = (9, 8) \).

Các trường hợp khác thì \( 2^{m-n} - 1 \) sẽ không là số nguyên dương, vì muốn là như vậy thì \( 2^{m-n} \geq 2 \).

Vì vậy, chỉ có một cặp \( (m, n) \) thỏa mãn:

\[ m = 9, n = 8 \]