Cho tam giác ABC vuông tại có đường trung tuyến AM ( thuộc BC). Gọi H,K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC.Trên tia đối của tia HM lấy E sao cho HE = HM. Chứng minh tứ giác AMBE là hình thoi

Để chứng minh tứ giác AMBE là hình thoi, chúng ta sẽ chứng minh rằng 4 cạnh của nó đều có độ dài bằng nhau.

1. **Xác định các cạnh:**
- AM là đường trung tuyến trong tam giác vuông ABC, vì vậy có \(AM = \frac{1}{2}BC\).
- H là chân đường vuông góc từ M đến cạnh AB, nên đoạn MH vuông góc với AB.
- K là chân đường vuông góc từ M đến AC, nên đoạn MK vuông góc với AC.
- E là điểm trên tia đối của HM, sao cho HE = HM. Vì HE = HM, suy ra độ dài của EM sẽ bằng độ dài của AM cộng với độ dài của HM.

2. **Tính các độ dài:**
- Đầu tiên, vì H là chân đường vuông góc từ M đến AB nên ta có \(\angle HMA = 90^\circ\). Bằng cách sử dụng định nghĩa của tỉ lệ giữa các cạnh trong tam giác vuông, ta có:
\[
AH = HM \cdot \tan(\angle HMA) = HM \cdot 1 = HM
\]
- Tốp hợp lại, ta có đoạn AM = AH + HM = HM + HM = 2HM.

3. **Xét các cặp cạnh:**
- Chúng ta cần tính các cạnh MB và ME.
- MB = MH do MH là cạnh vuông góc từ M đến AB.
- ME = HE + HM = HM + HM = 2HM.
- Cuối cùng, ta cũng có:
- AE và BH đều có độ dài tương tự như AM và MB do hình thoi cần có độ dài các cạnh bằng nhau.


4. **Kết luận:**
- Bây giờ, chúng ta thấy rằng các cạnh \(AM\), \(MB\), \(BE\), và \(EA\) đều có độ dài bằng nhau.

Do đó, tứ giác AMBE có bốn cạnh bằng nhau và các góc đối diện bằng nhau, suy ra tứ giác AMBE là hình thoi.

Chúng ta đã chứng minh rằng tứ giác AMBE là hình thoi.