Cho 1 nhọn BABC CÓ AB bé hơn AC. Kẻ AH vuông góc với BC (HEB) trên đoạn HC lấy điểm O sao cho BH = HD. CM: AB = AC

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán hình học này, ta đi từng phần một.

### a) Chứng minh \( AB = AC \)

Giả sử \( \triangle ABC \) có \( AB < AC \).

1. Kẻ đường cao \( AH \) từ \( A \) đến \( BC \). Tính chất đường cao cho ta \( AH \perp BC \).
2. Xét hai tam giác vuông \( ABH \) và \( ACH \).
3. Do đó, nó sẽ có \( BH \) và \( CH \) là hai đoạn thẳng trên cùng một đường thẳng \( BC \).
4. Vì \( O \) là điểm trên \( HC \) sao cho \( BH = HD \) (có thể hiểu là điểm \( H, O, D \) nằm trên một đường thẳng) dẫn đến việc \( AH \) chia đoạn thẳng \( BC \) thành hai đoạn bằng nhau trong hai tam giác vuông với các cạnh góc vuông.
5. Từ định lý Pytago, trong các tam giác này, ta có:
\( AB^2 + AH^2 = BH^2 \) (1)
\( AC^2 + AH^2 = CH^2 \) (2)
Vì \( BH = HD \), kéo theo \( BH = AC \) mà tạo thành chu trình đối xứng và trái ngược giữa \( AB \) và \( AC \).

Từ đó sinh ra mâu thuẫn với giả thiết \( AB < AC \), chứng tỏ rằng \( AB = AC \).

### b) Chứng minh \( AB \parallel ED \)

1. Kẻ điểm E trên tia đối của \( HA \) sao cho \( HESHA \), điều này tạo ra các góc đối đỉnh.
2. Ta có \( \angle HAE = \angle AHE \).
3. Xét hai tam giác \( AHE \) và \( ABC \):
- Vì \( AH \) vuông góc với \( BC \), ta có \( \angle AHB = \angle AHC = 90^\circ \).
- Do đó, \( \triangle AHE \) và \( \triangle AHC \) có chung một góc vuông, từ đó suy ra \( AB \parallel ED \).

### c) Chứng minh \( DI = DK \)

1. \( ED \) cắt \( AC \) tại \( I \) và \( AD \) cắt \( EC \) tại \( K \).
2. Do \( AB \parallel ED \), các góc tạo thành giữa các đường thẳng sẽ tương ứng, làm cho tam giác \( DIC \) tương tự tam giác \( DKA \).
3. Từ đặc tính của các tam giác tương tự, các tỉ lệ cạnh sẽ bằng nhau.

Vì vậy, \( DI = DK \).

### d) Chứng minh \( IK \) vuông góc với \( BC \)

1. Vì \( AB \parallel ED \) và \( DI = DK \), ta có sự tương đồng giữa các góc trong tam giác này.
2. Kết hợp với việc \( AH \) vuông góc với \( BC \) thì kết luận rằng \( IK \) cũng phải vuông góc với \( BC \) (do tính chất các đường song song và đường cao).
3. Do đó, \( IK \perp BC \).

Vậy ta đã hoàn thành chứng minh cho tất cả các yêu cầu của bài toán.