Cho đường tròn (O;R), đường kính AB. Từ A kẻ tiếp tuyến Ax. Lấy điểm M trên Ax (M khác A). Từ M dựng tiếp tuyến thứ hai đến đường tròn, cắt đường tròn tại N. Chứng minh 4 điểm A,M,N,O cùng thuộc đường tròn

Để chứng minh 4 điểm \(A, M, N, O\) cùng thuộc một đường tròn, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tiếp tuyến và các hình học cơ bản.

1. **Xác định các yếu tố trong bài toán**:
- Đường tròn có tâm \(O\) và bán kính \(R\).
- Đường kính \(AB\) có điểm giữa là \(O\).
- \(Ax\) là tiếp tuyến ở điểm \(A\) với đường tròn.

2. **Tính chất của tiếp tuyến**:
- Vì \(Ax\) là tiếp tuyến tại điểm \(A\), nên đoạn thẳng \(OA\) vuông góc với tiếp tuyến \(Ax\). Do đó, \(\angle OAM = 90^\circ\) với \(M\) nằm trên tiếp tuyến \(Ax\).

3. **Xây dựng tiếp tuyến từ điểm M**:
- Từ điểm \(M\), chúng ta dựng tiếp tuyến thứ hai đến đường tròn tại điểm \(N\). Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:
\[
MN \perp ON
\]
mà \(N\) là tiếp điểm của tiếp tuyến từ \(M\).

4. **Chứng minh rằng bốn điểm \(A, M, N, O\) cùng thuộc một đường tròn**:
- Chúng ta cần chứng minh rằng góc \(\angle AMN = \angle AON\).
- Đầu tiên, vì \(OA \perp Ax\) nên \(\angle OAM = 90^\circ\).
- Tiếp theo, từ tính chất của tiếp tuyến \(MN\), ta thấy rằng \(OM\) là đường phân giác của góc \(\angle AMN\) (bởi vì nó đi qua chính điểm tiếp xúc \(N\)).
- Do đó, góc \(\angle AMN\) sẽ bằng góc \(\angle AON\) (góc trong cùng không gian).

5. **Áp dụng định lý góc nội tiếp**:
- Theo định lý góc nội tiếp, nếu một góc có đỉnh ở một điểm trên đường tròn và hai cạnh là dây cung nối điểm đó với hai điểm khác trên đường tròn thì góc đó bằng nửa góc ở tâm.
- Do đó, ta có:
\[
\angle AMN = \angle AON
\]
tức là ba điểm \(A, M, N\) đều nằm trên đường tròn với đường kính là \(OA\) (theo tính chất của góc nội tiếp).

6. **Kết luận**:
- Từ tứ giác \(AMON\), ta thấy rằng \(\angle AMN + \angle AON = 180^\circ\), do đó bốn điểm \(A, M, N, O\) cùng nằm trên một đường tròn.

Vậy chúng ta đã chứng minh rằng 4 điểm \(A, M, N, O\) cùng thuộc một đường tròn.