Để tính diện tích của tam giác \( AMN \) trong tam giác \( ABC \) đã cho, trước hết, ta cần chú ý rằng \( AM = MC \) và \( AN = BN \). Điều này có nghĩa rằng:

- \( M \) là trung điểm của \( AC \)
- \( N \) là trung điểm của \( AB \)

Từ đó, ta có thể chứng minh rằng diện tích của tam giác \( AMN \) so với diện tích tam giác \( ABC \) là tỷ lệ với bình phương tỷ lệ các cạnh.

Gọi diện tích của tam giác \( AMN \) là \( S_{AMN} \) và diện tích của tam giác \( BCMN \) là \( S_{BCMN} \).

Theo đề bài, có:

\[
S_{BCMN} - S_{AMN} = 10 \text{cm}^2
\]

Ta cũng biết rằng diện tích của tam giác \( AMN \) và \( ABC \) có thể được liên hệ như sau:

- Diện tích của tam giác \( SVN \) sẽ bằng 1/4 diện tích tam giác \( ABC \) vì \( N \) và \( M \) là những trung điểm.

Vậy ta có:

\[
S_{AMN} = \frac{1}{4} S_{ABC}
\]

Và diện tích của \( BCMN \):

\[
S_{BCMN} = S_{ABC} - S_{AMN} = S_{ABC} - \frac{1}{4} S_{ABC} = \frac{3}{4} S_{ABC}
\]

Thay vào công thức diện tích:

\[
\frac{3}{4} S_{ABC} - S_{AMN} = 10 \text{cm}^2
\]
\[
\frac{3}{4} S_{ABC} - \frac{1}{4} S_{ABC} = 10 \text{cm}^2
\]
\[
\frac{2}{4} S_{ABC} = 10 \text{cm}^2
\]
\[
\frac{1}{2} S_{ABC} = 10 \text{cm}^2 \implies S_{ABC} = 20 \text{cm}^2
\]

Đến đây, ta quay lại tính diện tích \( S_{AMN} \):

\[
S_{AMN} = \frac{1}{4} S_{ABC} = \frac{1}{4} \times 20 \text{cm}^2 = 5 \text{cm}^2
\]

Vậy diện tích của tam giác \( AMN \) là:

\[
\boxed{5 \text{cm}^2}
\]