Để chứng minh điều kiện cần và đủ để tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) là \( \overline{BA} \cdot \overline{BC} = AB^2 \), chúng ta sẽ sử dụng định nghĩa của tam giác vuông và một số công thức.

**Chứng minh:**

1. **Điều kiện cần:**
- Giả sử tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \).
- Theo định lý Pythagore, ta có:
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2.
\]
- Viết lại công thức trên ta có:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2.
\]
- Nhân cả hai vế với \( \overline{BA} \), ta có:
\[
\overline{BA} \cdot BC^2 = \overline{BA} \cdot (AB^2 + AC^2).
\]
- Phân tích:
\[
\overline{BA} \cdot BC^2 = \overline{BA} \cdot AB^2 + \overline{BA} \cdot AC^2.
\]
Tuy nhiên, chúng ta cần một cách khác để có thể tìm được \( \overline{BA} \cdot \overline{BC} \).

Thay thế các độ dài:
- \( \overline{BA} = AB \),
- \( \overline{BC} = AC \).

Nên ta có:
\[
\overline{AB} \cdot \overline{AC} = AB^2.
\]

2. **Điều kiện đủ:**
- Giả sử \( \overline{BA} \cdot \overline{BC} = AB^2 \).
- Ta biết rằng:
\[
\overline{AB} = \overline{BA},
\]
- Suy ra:
\[
\overline{BC} = \frac{AB^2}{\overline{BA}}.
\]
- Khi đó, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:
\[
AC^2 = AB^2 + \overline{BA} \cdot \overline{BC} = AB^2 + AC^2.
\]
- Điều này có nghĩa rằng \( ABC \) là tam giác vuông tại \( A \).

**Kết luận:**
Vậy điều kiện cần và đủ để tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) là:
\[
\overline{BA} \cdot \overline{BC} = AB^2.
\]