Cho tam giác ABC có M là trung điểm BC. Đường thẳng d song song với BC cắt AB, AM, AC lần lượt tại E, N, F. Chúng minh rằng N là trung điểm EF. Điều này còn đúng nếu E, N, F lần lượt nằm trên tia đối của BA, MA, CA không?

Để chứng minh rằng điểm N là trung điểm của EF trong tam giác ABC có M là trung điểm của BC, ta sẽ sử dụng định lý Thales.

**1. Chứng minh N là trung điểm của EF:**

- Đặt B có tọa độ (0, 0) và C có tọa độ (a, 0). Do M là trung điểm của BC, tọa độ của M là \((\frac{a}{2}, 0)\).
- Gọi A có tọa độ (b, c). Đường thẳng BC là y = 0. Đường thẳng AM sẽ có phương trình và cắt đường thẳng d tại điểm N.
- Đường thẳng d song song với BC nên nó cũng là một đường thẳng y = k (với k là một hằng số).

Vì d song song với BC, các đoạn AE và AF tỉ lệ với nhau. Do đó, khi E và F lần lượt chia AE và AF theo tỉ lệ bằng nhau, theo định lý Thales, N sẽ là trung điểm của EF.

**2. Trường hợp E, N, F nằm trên tia đối của BA, MA, CA:**

Khi E, N, F lần lượt nằm trên tia đối của BA, MA, CA, ta cần xét lại các tỷ lệ tương ứng. Tuy các điểm E, N, F không nằm trên đoạn thẳng AB, AM, AC như trường hợp ban đầu, nhưng tính chất tỉ lệ vẫn giữ nguyên khi đường thẳng d là song song với BC.

Vì vậy, từ tính chất trung điểm của N trong trường hợp đầu tiên, với sự song song của các đường thẳng và tỉ lệ không thay đổi, N vẫn là trung điểm của EF trong trường hợp E, N, F nằm trên tia đối của BA, MA, CA.

**Kết luận:** Dù E, N, F nằm trên đoạn thẳng hay tia đối, N vẫn là trung điểm của EF.