Để giải bài toán này, ta sẽ làm theo từng phần một.

**a)** Chứng minh rằng \( IK \parallel AB \).

Trong hình thang, chúng ta có \( AB \parallel CD \) và \( M \) là trung điểm của \( CD \).

Giả sử đường chéo \( BD \) cắt \( AM \) tại \( K \). Theo tính chất của hình thang, chúng ta có thể sử dụng phương pháp đồng dạng để chứng minh \( IK \parallel AB \).

Xét tam giác \( AMD \) và \( BMC \):
- Do \( M \) là trung điểm và \( AB \parallel CD \), suy ra \( \frac{AM}{MD} = \frac{BM}{MC} \).
- Từ đó, sử dụng định lý Thales, ta có \( \frac{IK}{AB} = \frac{KM}{MD} \), dẫn đến \( IK \parallel AB \).

**b)** Chứng minh rằng \( EI = KF \).

Xét các tam giác \( AIE \) và \( BIF \):

- \( IK \) cắt \( AD \) và \( BC \) lần lượt tại \( E \) và \( F \).
- Nguyên tắc bất đẳng thức Thales cho biết tỉ số các đoạn thẳng liên quan đến hai tam giác này sẽ tương đương.

Do đó, ta có \( \frac{EI}{IK} = \frac{IK}{KF} \), từ đây suy ra rằng \( EI = KF \).

Tóm lại, cả hai phần a) và b) có thể được chứng minh dựa trên tính chất của hình thang và các định lý liên quan.