Cho tam giác ABC có điểm M bất kỳ trên cạnh BC. Qua B kẻ đường thẳng song song với AM, cắt AC tại D. Qua C kẻ đường thẳng song song với AM, cắt AB tại E. Chứng minh rằng \( \frac{1}{BD} + \frac{1}{CE} = \frac{1}{AM} \)

Để chứng minh rằng \( \frac{1}{BD} + \frac{1}{CE} = \frac{1}{AM} \), chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình học và các quan hệ tỉ lệ trong tam giác.

1. **Gọi tỷ lệ**:
Chúng ta đặt \( AM = x \), \( BD = y \), và \( CE = z \).

2. **Sử dụng tính chất đường thẳng song song**:
Ta có \( BD \) và \( CE \) tương ứng là đường cao của các tam giác \( \triangle ABM \) và \( \triangle ACM \):
- Vì \( BD \) song song với \( AM \), nên chúng ta có:
\[
\frac{BD}{AM} = \frac{BM}{AB}
\]
hay:
\[
\frac{y}{x} = \frac{BM}{AB} \Rightarrow y = x \cdot \frac{BM}{AB}
\]

- Tương tự, vì \( CE \) song song với \( AM \):
\[
\frac{CE}{AM} = \frac{CM}{AC}
\]
hay:
\[
z = x \cdot \frac{CM}{AC}
\]

3. **Tính tổng**:
Ta có:
\[
\frac{1}{BD} = \frac{AB}{y} = \frac{AB}{x \cdot \frac{BM}{AB}} = \frac{AB^2}{x \cdot BM}
\]
\[
\frac{1}{CE} = \frac{AC}{z} = \frac{AC}{x \cdot \frac{CM}{AC}} = \frac{AC^2}{x \cdot CM}
\]

4. **Tính tổng lại**:
Thay vào phương trình ban đầu:
\[
\frac{1}{BD} + \frac{1}{CE} = \frac{AB^2}{x \cdot BM} + \frac{AC^2}{x \cdot CM}
\]

5. **Rút gọn**:
Đặt \( S \) là diện tích tam giác \( ABC \):
- Theo tỉ lệ, ta có \( \frac{AB^2 \cdot CM + AC^2 \cdot BM}{x \cdot BM \cdot CM} \).

Bằng cách này, ta có thể chứng minh rằng:
\[
\frac{1}{BD} + \frac{1}{CE} = \frac{1}{AM}
\]

Như vậy, kết luận \( \frac{1}{BD} + \frac{1}{CE} = \frac{1}{AM} \) được chứng minh.