Bài toán có thể được giải quyết như sau:

a) **Chứng minh tam giác ABM = tam giác ACM**

Xét tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC, tức là \(BM = MC\).

- Ta có:
- \(AB = AC\) (giả thiết),
- \(BM = MC\) (do M là trung điểm),
- \(AM = AM\) (đoạn chung).

Từ đó, theo tiêu chuẩn đồng dạng của tam giác (cạnh-cạnh-cạnh), ta có:
\[ \triangle ABM \cong \triangle ACM \]
Vì vậy, \( \triangle ABM = \triangle ACM \).

b) **Chứng minh: AB // DC**

Trên tia đối của tia MA, ta lấy điểm D sao cho \(MD = MA\). Ta sẽ chứng minh rằng AB song song với DC.

- Vì tam giác ABM và ACM đồng dạng, ta có:
- Góc \(ABM = \angle ACM\) (cùng là một góc),
- Góc \(AMM = AMM\) (góc chung),

Vậy nên:
\[ \angle ABM = \angle ACM \]

Bây giờ, vì \(MD = MA\) và đoạn MA là trung bình của \(MD\), ta có:

- \(\angle MAB = \angle MDC\) (các góc tương ứng giữa hai đường thẳng cắt nhau với các đoạn thẳng này).

Theo định lý về góc, từ đó suy ra:
\[AB \parallel DC\]

c) **Chứng minh rằng : M là trung điểm EF**

Kẻ \(ME\) vuông góc với \(AB\) (E thuộc \(AB\)), và \(MF\) vuông góc với \(DC\) (F thuộc \(DC\)). Ta cần chứng minh rằng M là trung điểm của EF.

- Từ AB // DC, dẫn đến \(ME \perp AB\) và \(MF \perp DC\).
- Do đó, ME và MF đều là các đường vuông góc từ M đến các đường thẳng AB và DC, chúng sẽ có những khoảng cách bằng nhau từ M đến các điểm giao.

Xét hệ tọa độ, ta biết:

- Gọi \(E\) và \(F\) là hai điểm trên AB và DC sao cho:
- \(AE = x\),
- \(DF = x\).

Do \(AB \parallel DC\) và ME, MF là các đường cao, \(M\) nằm chính giữa hai đường cao này và do đó là trung điểm của đoạn thẳng \(EF\).

- Từ đó ta có:
\[ ME = MF \]

Do đó, \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng EF.

Vì vậy, chúng ta đã chứng minh xong các phần của bài toán.