Để tìm số ngày sau khi cả An, Bình và Mai cùng trực một ngày, ta cần tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) của các chu kỳ trực của từng bạn.

- An trực mỗi 7 ngày.
- Bình trực mỗi 4 ngày.
- Mai trực mỗi 6 ngày.

**Công thức tính BCNN**:

1. Phân tích các số thành thừa số nguyên tố:
- 7 = 7 (không có thừa số khác)
- 4 = \(2^2\)
- 6 = \(2 \times 3\)

2. Lấy thừa số nguyên tố với số mũ lớn nhất:
- 2: \(2^2\) từ 4
- 3: \(3^1\) từ 6
- 7: \(7^1\) từ 7

**Tính BCNN**:

\[BCNN = 2^2 \times 3^1 \times 7^1 = 4 \times 3 \times 7\]
\[= 12 \times 7 = 84\]

Vậy sau 84 ngày, cả ba bạn sẽ cùng trực một lần.

**Số lần trực của mỗi bạn**:

- An: \( \frac{84}{7} = 12\) lần
- Bình: \( \frac{84}{4} = 21\) lần
- Mai: \( \frac{84}{6} = 14\) lần

Tóm lại, sau 84 ngày, cả ba bạn sẽ cùng trực và:
- An đã trực 12 lần,
- Bình đã trực 21 lần,
- Mai đã trực 14 lần.