Để giải bài 13, ta sẽ làm theo từng phần:

### 1) Tỉ số \( \frac{GA}{GC} \) bằng những tỉ số nào?

Ta có tứ giác \( ABCD \) và điểm \( E \) trên cạnh \( AD \). Đường thẳng qua \( E \) song song với \( DC \) cắt \( AC \) tại \( G \).

Theo định lý về tỉ lệ phân giác (hoặc định lý Thales), khi kẻ một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác, tỉ lệ của hai đoạn trên cạnh còn lại sẽ bằng nhau:

- Vì \( EG \) song song với \( DC \), ta có:
\[
\frac{GA}{GC} = \frac{AE}{ED}
\]

### 2) Chứng minh: \( HE \parallel BD \).

Để chứng minh hai đường thẳng \( HE \) và \( BD \ song song,\) ta áp dụng định lý Thales một lần nữa.

- Ta đã kẻ đường thẳng qua điểm \( G \) song song với \( CB \) và cắt \( AB \) tại \( H \).
- Vì \( GH \) song song với \( CB \), nên ta có:

\[
\frac{AH}{HB} = \frac{AG}{GC}
\]

- Cùng lúc đó, do \( EG \parallel DC \), ta có:
\[
\frac{AE}{ED} = \frac{AG}{GC}
\]

- Từ đó, có thể kết luận hai tỉ số bằng nhau:
\[
\frac{AH}{HB} = \frac{AE}{ED}
\]

- Từ ba điểm \( A, H, E \) thuộc một đường thẳng, kết hợp với các tỉ số trên, theo định lý Thales, suy ra \( HE \parallel BD \).

Tóm lại:

1) Tỉ số \( \frac{GA}{GC} = \frac{AE}{ED} \).
2) \( HE \parallel BD \).