Để chứng minh rằng tam giác \( BAC \) bằng tam giác \( BDF \) và ba điểm \( D, E, F \) thẳng hàng, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Chứng minh tam giác \( BAC \) bằng tam giác \( BDF \):

1. **Đối với tam giác \( BAC \)**:
- \( \angle A = 90^\circ \) (vì tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \)).
- \( \angle B = 53^\circ \) (đã cho).
- Do đó, \( \angle C = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 53^\circ = 37^\circ \).

2. **Đối với tam giác \( BDF \)**:
- Ta biết \( BD = BA \) (đã cho).
- Vì tia phân giác của góc \( B \) cắt \( AC \) tại \( E \), theo định lý tia phân giác, ta có:
\[
\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC}.
\]
- Các góc của tam giác \( BDF \):
- Từ điểm \( D \) trên cạnh \( BC \) mà \( BD = BA \), suy ra \( \angle DBA = \angle BAE = 26.5^\circ \) (góc chia đôi).
- \( \angle BDF \) được tạo bởi điểm \( F \) nằm trên đường thẳng vuông góc với \( BE \) tại \( H \), trong đó \( \angle BDF = 90^\circ - \angle BAE = 90^\circ - 26.5^\circ = 63.5^\circ \).

3. **So sánh hai tam giác**:
- \( \angle B = \angle B \) (cả hai cùng bằng \( 53^\circ \)).
- \( AB = BD \) (đã cho).
- \( \angle A = \angle D = 90^\circ \) (giống nhau, một góc vuông).

**Kết luận**:
Từ các thông tin trên, chúng ta có điều kiện hai tam giác \( BAC \) và \( BDF \) có đủ ba cặp góc và cạnh tương ứng bằng nhau. Do đó, theo định lý tam giác, ta có:
\[
\triangle BAC \cong \triangle BDF.
\]

### Chứng minh ba điểm \( D, E, F \) thẳng hàng:

1. **Vì \( D \) được chọn trên đại lượng \( BC \)** và có \( BD = BA \), khi \( A, D \) đối xứng qua đường thẳng \( BE \) xuống \( B \), điểm \( E \) trên đường chéo \( AC \) đồng nghĩa với việc tất cả ba điểm \( D, E, F \) đều nằm trên cùng một đường thẳng các cot trên đường chéo \( AC \).

2. **Hơn nữa**, vì đường thẳng \( CH \) vuông góc với \( BE \) tại \( H \) cắt \( AB \) tại \( F \), chúng ta có thể chỉ ra rằng chiều cao từ điểm \( H \) đến \( AB \) sẽ đi qua điểm \( D \).

**Kết luận**: Ba điểm \( D, E, F \) là đồng phẳng và thẳng hàng.

### Tổng kết:
Chúng ta đã chứng minh rằng:
- Tam giác \( BAC \cong BDF \).
- Ba điểm \( D, E, F \) thẳng hàng.