Để giải phương trình

\[
\left(4x - \frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{y}{x}\right)^2 = \left(x^2 + \frac{5}{2}\right)^2,
\]

ta sẽ tiến hành như sau.

Bước 1: Để đơn giản hóa, ta thay \(z = \frac{y}{x}\), do đó \(y = zx\). Phương trình trở thành:

\[
\left(4x - \frac{3}{2}\right)^2 + z^2 = \left(x^2 + \frac{5}{2}\right)^2.
\]

Bước 2: Tính \(\left(4x - \frac{3}{2}\right)^2\) và \(\left(x^2 + \frac{5}{2}\right)^2\):

\[
\left(4x - \frac{3}{2}\right)^2 = 16x^2 - 12x + \frac{9}{4}
\]

\[
\left(x^2 + \frac{5}{2}\right)^2 = x^4 + 5x^2 + \frac{25}{4}.
\]

Bước 3: Thay vào phương trình:

\[
16x^2 - 12x + \frac{9}{4} + z^2 = x^4 + 5x^2 + \frac{25}{4}.
\]

Bước 4: Đưa các hạng tử về một bên:

\[
z^2 = x^4 + 5x^2 + \frac{25}{4} - 16x^2 + 12x - \frac{9}{4}.
\]

Bước 5: Tính giá trị cuối cùng:

\[
z^2 = x^4 - 11x^2 + 12x + \frac{16}{4} = x^4 - 11x^2 + 12x + 4.
\]

Bước 6: Để tìm \(z\), ta có:

\[
z = \pm \sqrt{x^4 - 11x^2 + 12x + 4}.
\]

Bước 7: Với \(z = \frac{y}{x}\), ta có:

\[
y = xz = x \cdot \pm \sqrt{x^4 - 11x^2 + 12x + 4}.
\]

Để có nghiệm thực, biểu thức trong căn bậc 2 phải không âm:

\[
x^4 - 11x^2 + 12x + 4 \geq 0.
\]

Bước 8: Giải bất phương trình này để tìm giá trị của \(x\).

Nếu cần trắc nghiệm nghiệm hoặc tìm giá trị cụ thể cho x, bạn sẽ cần phân tích thêm bậc 4 này hoặc sử dụng phương pháp số. Tuy nhiên, đây là thông tin cơ bản để định ra nhóm nghiệm x,y thỏa mãn phương trình ban đầu.