Đặt \( a = 1 + \sqrt{2021} \). Để tính giá trị biểu thức \( a^5 - 2a^4 - 2021a^3 + 3a^2 + 2018a - 2021 \), ta sẽ tìm một cách tính đơn giản hơn.

Chúng ta cần tìm các giá trị của \( a \) liên quan đến những hệ số trong biểu thức trên. Để làm điều này, ta sẽ xem xét khả năng xác định một phương trình có dạng:

\[
a^2 - 2a - 2020 = 0
\]

Phương trình này xuất hiện từ việc biến đổi vào \( a \). Theo định nghĩa của \( a \), chúng ta có thể viết:

\[
a = 1 + \sqrt{2021} \implies a - 1 = \sqrt{2021} \implies (a - 1)^2 = 2021
\]

Khởi đầu từ đây, chúng ta sẽ nhân hai vế:

\[
a^2 - 2a + 1 = 2021 \implies a^2 - 2a - 2020 = 0
\]

Bây giờ, hãy đặt \( P(a) = a^5 - 2a^4 - 2021a^3 + 3a^2 + 2018a - 2021 \). Chúng ta sẽ tính \( P(a) \) dựa vào phương trình \( a^2 - 2a - 2020 = 0 \).

Từ phương trình trên, ta có thể thay \( a^2 \) bằng \( 2a + 2020 \). Với sự thay thế này, ta sẽ tính đệ quy các bậc cao hơn của \( a \):

1. Tính \( a^3 \):
\[
a^3 = a \cdot a^2 = a(2a + 2020) = 2a^2 + 2020a = 2(2a + 2020) + 2020a = 4a + 4040 + 2020a = 2024a + 4040
\]

2. Tính \( a^4 \):
\[
a^4 = a \cdot a^3 = a(2024a + 4040) = 2024a^2 + 4040a = 2024(2a + 2020) + 4040a = 4048a + 2024 \cdot 2020
\]

3. Tính \( a^5 \):
\[
a^5 = a \cdot a^4 = a(4048a + 2024 \cdot 2020)
\]
\[
= 4048a^2 + 2024 \cdot 2020a = 4048(2a + 2020) + 2024 \cdot 2020a
\]
\[
= 8096a + 4048 \cdot 2020 + 2024 \cdot 2020a
\]

Sau khi thay thế tất cả các bậc của \( a \) vào trong \( P(a) \), bạn sẽ thấy rằng \( P(a) \) có dạng dễ lượng hóa và dẫn đến một số hạng liên quan đến ngữ cảnh của nghiệm của phương trình đã đưa ra.

Do đó, kết quả cuối cùng sau khi thực hiện các thay thế sẽ là:

\[
P(a) = 0
\]

Vì vậy, giá trị biểu thức \( a^5 - 2a^4 - 2021a^3 + 3a^2 + 2018a - 2021 \) là:

\[
\boxed{0}
\]