Để chứng minh rằng đoạn thẳng \( DO \) vuông góc với \( BC \), ta có thể thực hiện các bước sau đây:

1. **Ký hiệu và Đặt vấn đề**:
- Gọi \( O \) là tâm của đường tròn với đường kính \( AB = 2R \).
- Điểm \( C \) nằm trên đường tròn.
- Hai tiếp tuyến từ điểm \( C \) đến đường tròn cắt nhau tại điểm \( D \) và tiếp xúc với đường tròn tại các điểm \( E \) và \( F \).

2. **Tính chất của các tiếp tuyến**:
- Theo định lý tiếp tuyến, đoạn thẳng \( CE \) và \( CF \) là các tiếp tuyến từ điểm \( C \) đến đường tròn. Do đó, có \( OC \perp CE \) và \( OC \perp CF \).

3. **Tính chất tam giác**:
- Hình thành tam giác \( OCE \) và tam giác \( OCF \). Vì \( OC \) là đường vuông góc với các tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc, ta có:
\[
OE^2 + CE^2 = OC^2 \quad \text{(định lý Pitago)}
\]
\[
OF^2 + CF^2 = OC^2 \quad \text{(định lý Pitago)}
\]
- Trong đó \( OE \) và \( OF \) là bán kính của đường tròn từ tâm tới điểm tiếp xúc.

4. **Tính chất đoạn thẳng \( DO \)**:
- Điểm \( D \) nằm trên đường nối \( C \) và đường của giao điểm của hai tiếp tuyến, tức là \( D \) thuộc đường thẳng \( EF \).
- Từ \( O \) vẽ đường thẳng \( OD \) và tham chiếu tới góc \( ODC \).
- Ta có \( \angle ODC = 90^\circ \) vì \( OC \) vuông góc với cả hai tiếp tuyến \( CE \) và \( CF \).

5. **Kết luận**:
- Từ các tính chất đã chứng minh ở trên, ta có:
\[
DO \perp BC
\]
- Điều này chứng minh rằng \( DO \) vuông góc với \( BC \).

Vậy ta đã chứng minh thành công rằng đoạn thẳng \( DO \) vuông góc với đoạn thẳng \( BC \).