Để cân bằng phương trình hóa học \( \text{Al} + \text{HNO}_3 \rightarrow \text{Al(NO}_3\text{)}_3 + \text{NH}_4\text{NO}_3 + \text{H}_2\text{O} \) bằng phương pháp đại số, ta làm như sau:

1. **Xác định các chất phản ứng và sản phẩm**:
- Chất phản ứng: Al và HNO3.
- Sản phẩm: Al(NO3)3, NH4NO3, và H2O.

2. **Đặt biến số cho số mol của từng chất**:
- Giả sử:
- \( a \) là số mol của Al.
- \( b \) là số mol của HNO3.
- \( c \) là số mol của Al(NO3)3.
- \( d \) là số mol của NH4NO3.
- \( e \) là số mol của H2O.

3. **Viết hệ phương trình dựa trên số nguyên tố**:
- Balancing Aluminum (Al):
\[
a = c
\]

- Balancing Nitrogen (N):
\[
b = 3c + 4d
\]

- Balancing Oxygen (O):
\[
b = 9c + 3d + e
\]

- Balancing Hydrogen (H):
\[
b = 4d + 2e
\]

4. **Chọn giá trị cho một trong các biến số**:
- Ta chọn \( c = 1 \) (1 mol Al(NO3)3).

5. **Thay thế \( c \) vào các phương trình**:
- Từ \( a = c \) ta có \( a = 1 \).
- Từ \( b = 3c + 4d \):
\[
b = 3(1) + 4d = 3 + 4d
\]
- Từ \( b = 9c + 3d + e \):
\[
b = 9(1) + 3d + e = 9 + 3d + e
\]
- Từ \( b = 4d + 2e \):
\[
b = 4d + 2e
\]

6. **Giải hệ phương trình**:
- Ta có 3 biểu thức cho \( b \):
1. \( b = 3 + 4d \)
2. \( b = 9 + 3d + e \)
3. \( b = 4d + 2e \)

- Bằng phương pháp thay thế, từ 1 và 2 ta có:
\[
3 + 4d = 9 + 3d + e \implies e = d - 6
\]
- Từ phương trình 1 và 3:
\[
3 + 4d = 4d + 2e \implies 3 = 2e \implies e = 1.5
\]
- Thay \( e = 1.5 \) vào \( e = d - 6 \):
\[
1.5 = d - 6 \implies d = 7.5
\]

7. **Tính giá trị của \( b \)**:
- Ta tính \( b \):
\[
b = 3 + 4(7.5) = 3 + 30 = 33
\]

8. **Tổng hợp kết quả**:
- \( a = 1 \)
- \( b = 33 \)
- \( c = 1 \)
- \( d = 7.5 \)
- \( e = 1.5 \)

9. **Viết lại phương trình và đơn giản hóa**:
\[
1 \text{Al} + 33 \text{HNO}_3 \rightarrow 1 \text{Al(NO}_3\text{)}_3 + 7.5 \text{NH}_4\text{NO}_3 + 1.5 \text{H}_2\text{O}
\]
Để đơn giản hóa, nhân tất cả các hệ số với 2 để có số nguyên:

\[
2 \text{Al} + 66 \text{HNO}_3 \rightarrow 2 \text{Al(NO}_3\text{)}_3 + 15 \text{NH}_4\text{NO}_3 + 3 \text{H}_2\text{O}
\]

Vậy phương trình hóa học đã được cân bằng là:

\[
\underline{2 \text{Al} + 66 \text{HNO}_3 \rightarrow 2 \text{Al(NO}_3\text{)}_3 + 15 \text{NH}_4\text{NO}_3 + 3 \text{H}_2\text{O}}
\]