Để tính diện tích tam giác ABC, chúng ta có thể sử dụng thông tin về hình tứ giác BCNM.

Gọi diện tích của tam giác ABC là S.

Diện tích tứ giác BCNM có thể được tính bằng cách lấy diện tích của tam giác ABC cộng với diện tích của hình tam giác BCM và hình tam giác ACN.

1. **Tính diện tích của tam giác BCM**:
Tam giác BCM có cạnh BM = 6 cm (kéo dài cạnh AB) và cạnh BC còn lại là c (chưa biết).
Diện tích của tam giác BCM có thể tính theo công thức:
\[
S_{BCM} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BM \cdot \sin(\angle BMC)
\]

2. **Tính diện tích của tam giác ACN**:
Tam giác ACN có cạnh CN = 5 cm (kéo dài cạnh AC) và cạnh AC = 10 cm.
Diện tích của tam giác ACN cũng có thể tính theo công thức:
\[
S_{ACN} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CN \cdot \sin(\angle ACN)
\]

3. **Tính diện tích tứ giác BCNM**:
Diện tích của tứ giác BCNM được cho là 150 cm², vậy ta có:
\[
S_{BCNM} = S + S_{BCM} + S_{ACN} = 150
\]

Hiện tại chúng ta cần xác định các góc và độ dài còn lại (BC) để có thể tính toán từng diện tích một cách chính xác.

Tuy nhiên, theo cách đơn giản, ta có thể sử dụng diện tích tam giác ABC:
- Diện tích tứ giác BCNM là tổng diện tích ABC và hai tam giác nhỏ BCM và ACN.
- Diện tích các tam giác nhỏ có thể tìm ra nếu biết độ dài của cạnh BC cùng góc liên quan.

Do đó, ta có thể lập một phương trình như sau (với S là diện tích tam giác ABC):
\[
S + S_{BCM} + S_{ACN} = 150
\]

Chúng ta cần một thêm thông tin về góc hoặc đơn vị chi tiết nào đó để hoàn thành bài.

Nếu bạn chỉ cần diện tích tam giác ABC mà không cần các diện tích còn lại, có thể sử dụng Công thức Heron hoặc Công thức tính diện tích tam giác thông qua chiều cao nếu bạn biết chiều cao từ A đến cạnh BC.

Nếu bạn có thêm thông tin chi tiết nào khác (ví dụ như góc tại B hoặc C), xin vui lòng cho biết để giúp tính toán chính xác hơn.