Chúng ta cần tìm các số tự nhiên \( a \) và \( b \) thỏa mãn phương trình:

\[
(20a + 7b + 3)(20^a + 20a + b) = 803
\]

Đầu tiên, ta sẽ phân tích 803 để tìm các cặp số có thể thỏa mãn điều kiện trên. 803 là một số nguyên, có thể phân tích thành các ước số.

Phân tích 803:

\[
803 = 1 \times 803 \text{ hoặc } 29 \times 29
\]

Những cặp số nhân ra 803 chỉ có thể là (1, 803) và (29, 29).

Ta sẽ thử với từng cặp:

### Tình huống 1: \( 20a + 7b + 3 = 1 \) và \( 20^a + 20a + b = 803 \)

Giải phương trình thứ nhất:

\[
20a + 7b + 3 = 1 \implies 20a + 7b = -2
\]

Điều này không có nghiệm tự nhiên vì \( 20a \) và \( 7b \) không thể âm.

### Tình huống 2: \( 20a + 7b + 3 = 803 \) và \( 20^a + 20a + b = 1 \)

Giải phương trình thứ nhất:

\[
20a + 7b + 3 = 803 \implies 20a + 7b = 800
\]

Giải phương trình thứ hai:

\[
20^a + 20a + b = 1
\]

Từ \( b = 1 - 20^a - 20a \):

Thay \( b \) vào phương trình đầu tiên:

\[
20a + 7(1 - 20^a - 20a) = 800
\]

Giải:

\[
20a + 7 - 140^a - 140a = 800
\]
\[
-120a - 140^a + 7 = 800
\]
\[
-120a - 140^a = 793
\]

Phương trình này trở nên phức tạp, nhưng có thể thử với các giá trị nhỏ của \( a \):

#### Thử \( a = 0 \):

\[
b = 1 - 20^0 - 20 \times 0 = 1 - 1 - 0 = 0
\]

Thay vào \( 20a + 7b + 3 = 800 \):

\[
20 \times 0 + 7 \times 0 + 3 = 3 \text{ (không thỏa mãn)}
\]

#### Thử \( a = 1 \):

\[
b = 1 - 20^1 - 20 \times 1 = 1 - 20 - 20 = -39 \text{ (không thỏa mãn)}
\]

#### Thử \( a = 2 \):

\[
b = 1 - 20^2 - 20 \times 2 = 1 - 400 - 40 = -439 \text{ (không thỏa mãn)}
\]

Có vẻ rằng không có các giá trị tự nhiên nào \( a \) và \( b \) nhỏ hơn hơn \( 2 \) có thể thỏa mãn phương trình.

### Tình huống 3: \( 20a + 7b + 3 = 29 \) và \( 20^a + 20a + b = 29 \)

Giải phương trình thứ nhất:

\[
20a + 7b + 3 = 29 \implies 20a + 7b = 26
\]

Giải phương trình thứ hai:

\[
20^a + 20a + b = 29
\]

Rio b ở trong \( b = 29 - 20^a - 20a \), thay vào phương trình đầu tiên:

\[
20a + 7(29 - 20^a - 20a) = 26
\]

Giải:

\[
20a + 203 - 7 \cdot 20^a - 140a = 26
\]
\[
-120a - 7 \cdot 20^a + 203 = 26
\]
\[
-120a - 7 \cdot 20^a = -177
\]

Thử các giá trị của \( a \):

#### Thử \( a = 0 \):

\[
b = 29 - 1 - 0 = 28
\]

\[
20 \cdot 0 + 7 \cdot 28 + 3 = 199 \text{ (không thỏa mãn)}
\]

#### Thử \( a = 1 \):

\[
b = 29 - 20 - 20 = -11 \text{ (không thỏa mãn)}
\]

#### Thử \( a = 2 \):

\[
b = 29 - 400 - 40 = -411 \text{ (không thỏa mãn)}
\]

### Kết luận:

Cuối cùng, không tìm được các giá trị tự nhiên \( a \) và \( b \) mà thỏa mãn phương trình. Nếu bạn có tạo ra thông tin cụ thể hơn hoặc những điều kiện bổ sung về a và b, hãy cho tôi biết để tôi có thể giúp thêm!