Để xác định tính đúng sai của các mệnh đề liên quan đến hàm số \( f(x) = \frac{1}{x^2 - 2x - 12} \), ta cần phân tích hàm số này.

1. **Xác định nghiệm của phương trình \( f(x) = 0 \)**:
- Phương trình \( f(x) = 0 \) là không thể xảy ra do hàm này là phân thức và chỉ trở thành 0 khi tử số bằng 0, mà tử số là 1, không bao giờ bằng 0.
- Do đó, mệnh đề a) là **sai**.

2. **Xét dấu của \( f(x) \) trên những khoảng khác nhau**:
- Để xét dấu, ta cần giải phương trình \( x^2 - 2x - 12 = 0 \):
\[
x^2 - 2x - 12 = (x - 4)(x + 3) = 0
\]
Nghiệm là \( x = 4 \) và \( x = -3 \).
- Xét các khoảng: \( (-\infty, -3) \), \( (-3, 4) \), và \( (4, \infty) \):
- Khi \( x \in (-\infty, -3) \): Chọn \( x = -4 \), có \( f(-4) > 0 \).
- Khi \( x \in (-3, 4) \): Chọn \( x = 0 \), có \( f(0) < 0 \).
- Khi \( x \in (4, \infty) \): Chọn \( x = 5 \), có \( f(5) > 0 \).

Do đó, mệnh đề b) \( x \in (-\sqrt{3}, \sqrt{3}) \) thì \( f(x) > 0 \) là không đúng, vì trong khoảng này \( (-\sqrt{3} \approx -1.732, \sqrt{3} \approx 1.732) \) thì \( x \) thuộc khoảng \( (-3, 4) \), mà \( f(x) < 0 \). Vậy b) là **sai**.

3. **Xét mệnh đề c)**:
- Mệnh đề c) nói rằng nếu \( x \in (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, +\infty) \) thì \( f(x) < 0 \).
- Đã phân tích ở trên, tại \( (-\infty, -3) \) thì \( f(x) > 0 \) và ở \( (4, \infty) \) thì \( f(x) > 0 \), vì vậy c) là **sai**.

4. **Mệnh đề d)**:
- Bảng xét dấu cần điền đúng dấu của \( x^2 - 2x - 12 \) và \( f(x) \).
- Hệ số dấu của \( x^2 - 2x - 12 \):
- Từ các khảo sát trước, dấu của \( x^2 - 2x - 12 \) là:
- \( (+) \) cho \( (-\infty, -3) \)
- \( (-) \) cho \( (-3, 4) \)
- \( (+) \) cho \( (4, \infty) \)
- Vì vậy, dấu của \( f(x) \):
- Chỗ \( (-3, 4) \) thì \( f(x) < 0 \), nơi khác thì \( f(x) > 0 \).

Bảng cần điền sẽ như sau:

| x | -∞ | -3 | 4 | +∞ |
|---------------|----------|------------|-------------|-----------|
| \( x^2 - 2x - 12 \) | + | 0 | - | + |
| \( f(x) \) | + | – | + | + |

- Cụ thể, nếu ghi dấu của \( f(x) \) thì là **đúng**.

### Kết luận:
- a) Sai
- b) Sai
- c) Sai
- d) Đúng