Cho (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A và cùng tiếp xúc với đường thẳng d tại H và K < H∈ (O); Κ∈ (O') >

Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng yêu cầu một cách chi tiết:

### a) IA tiếp xúc (O')

Để chứng minh IA tiếp xúc (O'), ta sử dụng tính chất của hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại một điểm. Nếu hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A thì đoạn thẳng IA vuông góc với đoạn thẳng AO', do đó IA tiếp xúc (O').

### b) I là trung điểm của HK

Vì H và K lần lượt là tiếp điểm của đường thẳng d với hai đường tròn (O) và (O'), và A là điểm tiếp xúc, nên I sẽ là trung điểm của HK. Điều này đúng vì hai đoạn HA và KA bằng nhau (là bán kính của các đường tròn tại A) và nằm trên đường thẳng d.

### c) ΔHAK vuông

ΔHAK là tam giác vuông tại A, vì HA vuông góc với HK (do HK là tiếp tuyến của hai đường tròn tại H và K). Từ đó mà ta có thể kết luận rằng ΔHAK vuông.

### d) ĐOIO' vuông

Đoạn thẳng AO và AO' là bán kính của hai đường tròn tại điểm tiếp xúc A. Do I là trung điểm của HK, và HK là tiếp tuyến, ta có hai đoạn IO và IO' vuông góc với HK. Vậy ĐOIO' vuông.

### e) Gọi O1 giao HA tại M, O'I giao AK tại E. Tứ giác AMIE là hình gì? Tại sao?

Tứ giác AMIE có các điểm M, A, I, E. Ta đã chứng minh rằng AM là đường thẳng đi qua điểm tiếp xúc và vuông góc với HK và EI cũng giống như vậy. Khi đó, AM và IE sẽ vuông góc tại A, nên tứ giác AMIE là hình chữ nhật.

Tóm lại, mỗi phần đã được chứng minh dựa trên tính chất của các đường tròn, tiếp tuyến và các đoạn thẳng.