Tìm các soố nguyên x, y thoả mãn:

Chúng ta cần tìm các số nguyên \(x\) và \(y\) thoả mãn phương trình:

\[
x^2 + 5y^2 + 4xy - 2y = 0
\]

Đầu tiên, chúng ta có thể viết lại phương trình này theo cách khác bằng cách nhóm các biến lại. Ta có thể xem đây là một phương trình bậc hai theo \(x\):

\[
x^2 + 4xy + (5y^2 - 2y) = 0
\]

Để giải phương trình bậc hai này theo \(x\), ta có thể sử dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Ở đây, \(a = 1\), \(b = 4y\), và \(c = 5y^2 - 2y\). Phương trình nghiệm sẽ như sau:

\[
x = \frac{-4y \pm \sqrt{(4y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5y^2 - 2y)}}{2 \cdot 1}
\]

Tính toán phần dưới dấu căn:

\[
(4y)^2 - 4(5y^2 - 2y) = 16y^2 - 20y^2 + 8y = -4y^2 + 8y = -4y(y - 2)
\]

Vậy phương trình trở thành:

\[
x = \frac{-4y \pm \sqrt{-4y(y - 2)}}{2}
\]
\[
x = -2y \pm \sqrt{-y(y - 2)}
\]

Để nghiệm \(x\) là một số nguyên, thì biểu thức dưới dấu căn \(-y(y - 2)\) cần là một số không âm, tức là:

\[
-y(y - 2) \geq 0
\]

Giải bất phương trình này, ta thấy rằng:

- \(y(y - 2) \leq 0\)

Điều này có nghĩa là \(y\) nằm trong đoạn \([0, 2]\). Chúng ta sẽ kiểm tra các giá trị nguyên của \(y\) trong khoảng này:

1. **Khi \(y = 0\)**:
\[
x = -2(0) \pm \sqrt{-0(0 - 2)} = 0 \quad \Rightarrow \quad (x, y) = (0, 0)
\]

2. **Khi \(y = 1\)**:
\[
x = -2(1) \pm \sqrt{-1(1 - 2)} = -2 \pm 1 \quad \Rightarrow \quad x = -1 \quad \text{hoặc} \quad x = -3
\]
Vậy ta có hai nghiệm:
\[
(x, y) = (-1, 1) \quad \text{và} \quad (x, y) = (-3, 1)
\]

3. **Khi \(y = 2\)**:
\[
x = -2(2) \pm \sqrt{-2(2 - 2)} = -4 \pm 0 \quad \Rightarrow \quad (x, y) = (-4, 2)
\]

Tóm lại, các cặp số nguyên \((x, y)\) thoả mãn phương trình đã cho là:

\[
(0, 0), \quad (-1, 1), \quad (-3, 1), \quad (-4, 2)
\]