Để tính diện tích bề mặt quanh của chậu cây có hình dạng chóp tam giác đều, chúng ta cần tính diện tích xung quanh của chóp.

1. **Xác định các thông số của chóp**:
- Cạnh đáy \( a = 20 \, \text{cm} \)
- Chiều cao của mặt bên \( h_{\text{ben}} = 12 \, \text{cm} \)

2. **Tính diện tích mặt bên**:
Để tính diện tích mặt bên, trước tiên chúng ta cần tính chiều cao của chóp.

- Để tính chiều cao \( h \) của chóp từ đỉnh xuống đáy, ta áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông được tạo ra bởi:
- Chiều cao \( h \)
- Bán kính đáy \( \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{20\sqrt{3}}{3} \)
- Chiều cao mặt bên \( h_{\text{ben}} = 12 \)

Trong tam giác vuông:
\[
l = \sqrt{h^2 + \left( \frac{20\sqrt{3}}{3} \right)^2}
\]

Mà \( l \) là độ dài của cạnh bên và chiều cao mặt bên cũng phải được tính bằng cách:
\[
h_{\text{ben}}^2 = h^2 + \left( \frac{20}{2} \right)^2 = h^2 + 10^2 = h^2 + 100
\]
Phương trình này đưa ra:
\[
12^2 = h^2 + 100 \implies 144 = h^2 + 100 \implies h^2 = 44 \implies h = \sqrt{44} \approx 6.63 \, \text{cm}
\]

3. **Tính diện tích các mặt bên**:
- Diện tích một tam giác (mặt bên) với đáy là \( a \) và chiều cao là \( h_{\text{ben}} \) sẽ là:
\[
S_{\text{ben}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{\text{ben}} = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 12 = 120 \, \text{cm}^2
\]

Chóp có 3 mặt bên, nên diện tích xung quanh sẽ là:
\[
S_{\text{xung quanh}} = 3 \cdot 120 = 360 \, \text{cm}^2
\]

4. **Kết luận**:
Diện tích bề mặt cần sơn là \( \boxed{360} \, \text{cm}^2 \).