Để chứng minh rằng đoạn thẳng \( MC \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \) và bốn điểm \( A, M, C, O \) cùng thuộc một đường tròn, ta thực hiện như sau:

### Bước 1: Chứng minh \( MC \) là tiếp tuyến của \( (O) \)

Ta có:
- Đường tròn \( (O) \) có tâm \( O \) và bán kính là \( R \).
- Điểm \( M \) thuộc đường thẳng \( Ax \), và \( AC \) vuông góc với \( OM \).

Theo định nghĩa tiếp tuyến, ta biết rằng nếu \( MC \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \), thì góc tạo bởi tiếp tuyến và bán kính tại điểm tiếp xúc sẽ vuông góc với nhau.

**Chứng minh:**
- Do \( AC \) vuông góc với \( OM \), suy ra góc \( AMC = 90^\circ \).
- Từ định nghĩa, ta thấy rằng góc \( AMC \) chính là góc giữa \( MC \) và bán kính \( OM \) tại điểm tiếp xúc, tức là \( \angle OMC = 90^\circ \).
- Vậy \( MC \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \) tại điểm \( M \).

### Bước 2: Chứng minh bốn điểm \( A, M, C, O \) cùng thuộc một đường tròn

Theo tính chất của hình học, nếu ba điểm \( A, M, C \) và điểm \( O \) đều nằm trên một đường tròn, thì tứ giác tạo thành \( AMOC \) phải thỏa mãn điều kiện: tổng hai góc đối diện bằng \( 180^\circ \).

1. Tính góc \( AOC \):
- Xét tứ giác \( AMOC \), ta có:
\[
\angle AOC = \angle AMO + \angle AMC.
\]
Bởi vì \( \angle AMC = 90^\circ \) như đã chứng minh ở trên.

2. Tính góc \( AOM \) và \( COM \):
- Do \( O \) là tâm của đường tròn chứa \( A, M, C \), nên \( OA = OB \) và góc tại tâm bằng góc tại tiếp điểm, ta có:
\[
\angle AOM + \angle COM = 180^\circ.
\]

3. Từ đó, ta có chứng minh bốn điểm \( A, M, C, O \) thuộc một đường tròn.

### Kết luận
Theo các lý luận trên, ta đã chứng minh rằng:
- Đoạn thẳng \( MC \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \).
- Bốn điểm \( A, M, C, O \) cùng thuộc một đường tròn.

Như vậy, \( MC \) là tiếp tuyến của \( (O) \) và tứ giác \( AMOC \) là một tứ giác nội tiếp, chứng minh hoàn tất.