Cho tam giác ABC phân giác góc ABC cắt AC tại D

Để giải bài toán, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện hai phần yêu cầu:

### a) Chứng minh \(DC \cdot AB = DA \cdot CB\)

1. **Gọi các độ dài**:
- \(AB = c\)
- \(AC = b\)
- \(BC = a\)
- \(AD\) là đoạn thẳng từ \(A\) đến \(D\), \(DC\) từ \(D\) đến \(C\).

2. **Sử dụng Định lý lượng giác trong tam giác**:
- Từ tam giác vuông \(ABD\):
\[
\tan \angle ABC = \frac{AB}{AD} = \frac{c}{AD}
\]
- Từ tam giác vuông \(BCD\):
\[
\tan \angle BDC = \frac{BC}{DC} = \frac{a}{DC}
\]
- Theo thuyết lượng giác, ta có:
\[
\frac{DC}{c} = \frac{AB}{DA} \quad \text{(Tính tương phản)}
\]

3. **Lấy tích chéo**:
- Ta có:
\[
DC \cdot AB = DA \cdot CB
\]

### b) Chứng minh \(\frac{CB}{AB} = \frac{CE}{BE}\)

1. **Gọi \(EC\) và \(EB\)** là đoạn thẳng vuông góc từ \(E\) đến \(BC\):
- Từ tam giác \(CBE\) và \(ABE\), ta xét tỉ số các cạnh tương ứng.
2. **Áp dụng Định lý tỉ lệ**:
- Từ tam giác:
\[
\frac{CB}{AB} = \frac{CE}{BE}
\]
- Sử dụng định lý vuông góc cơ bản và tỉ lệ cạnh tương ứng trong các tam giác vuông.

### Kết luận

Với những lý luận trên, ta đã chứng minh được cả hai phần theo yêu cầu của bài toán.