Để chứng minh bất đẳng thức \(a^4 + b^4 \geq a^3b + ab^3\) với \(a\) và \(b\) là các số thực dương, chúng ta có thể sử dụng Bất đẳng thức AM-GM (Trung bình cộng - Trung bình nhân).

Để chứng minh bất đẳng thức a4+b4≥a3b+ab3a4+b4≥a3b+ab3 với aa và bb là các số thực dương, chúng ta có thể sử dụng Bất đẳng thức AM-GM (Trung bình cộng - Trung bình nhân).
 
### Bất đẳng thức AM-GM
Bất đẳng thức AM-GM nói rằng:
\[
\frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 x_2 \ldots x_n}
\]
với x1,x2,…,xnx1,x2,…,xn là các số thực dương.
 
### Áp dụng vào bài toán
 
Xét các số a4a4 và b4b4:
\[
a^4 + b^4 \geq 2\sqrt{a^4 b^4} = 2a^2 b^2
\]
 
Chúng ta cần chứng minh:
\[
a^4 + b^4 \geq a^3b + ab^3
\]
 
### So sánh hai vế của bất đẳng thức
 
1. Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh thành:
\[
a^4 + b^4 \geq a^3b + ab^3 \implies a^4 + b^4 - a^3b - ab^3 \geq 0
\]
 
2. Nhóm các hạng tử để dễ dàng chứng minh:
\[
a^4 + b^4 - a^3b - ab^3 = a^4 - a^3b + b^4 - ab^3
\]
 
3. Nhận thấy rằng:
\[
a^4 - a^3b \geq 0 \quad \text{và} \quad b^4 - ab^3 \geq 0
\]
vì a4≥a3ba4≥a3b và b4≥ab3b4≥ab3 khi aa và bb là các số thực dương.
 
### Tách riêng từng phần để chứng minh
 
- Xét a4−a3b≥0a4−a3b≥0:
\[
a^4 - a^3b = a^3(a - b) \geq 0
\]
- Xét b4−ab3≥0b4−ab3≥0:
\[
b^4 - ab^3 = b^3(b - a) \geq 0
\]
 
Nếu a≥ba≥b, ta có a−b≥0a−b≥0, do đó a3(a−b)≥0a3(a−b)≥0 và b3(b−a)≤0b3(b−a)≤0, nhưng b3(b−a)≤0b3(b−a)≤0 vì (b−a)≤0(b−a)≤0.
 
Nếu b≥ab≥a, ta có b−a≥0b−a≥0, do đó b3(b−a)≥0b3(b−a)≥0 và a3(a−b)≤0a3(a−b)≤0, nhưng a3(a−b)≤0a3(a−b)≤0 vì (a−b)≤0(a−b)≤0.
 
Vì a4−a3b≥0a4−a3b≥0 và b4−ab3≥0b4−ab3≥0 trong mọi trường hợp, ta có:
\[
a^4 + b^4 - a^3b - ab^3 \geq 0
\]