Để giải quyết bài toán, ta sẽ từng bước chứng minh các mệnh đề của bài.

### a) Chứng minh 4 điểm A, E, H, D cùng thuộc 1 đường tròn

Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Theo định nghĩa, H là giao điểm của ba đường cao của tam giác ABC.

Ta sẽ chứng minh rằng tứ giác AEHD nội tiếp. Tứ giác AEHD sẽ nội tiếp nếu góc AHE + góc ADE = 180 độ.

- **Xét góc AHE**: Là góc giữa đường cao CE và đường cao BD, tức là góc C.
- **Xét góc ADE**: Là góc giữa đường cao BD và cạnh AC, tức là góc A.

Ta có:
\[ \angle AHE + \angle ADE = \angle C + \angle A = \angle A + \angle B + \angle C - \angle B = 180^\circ \]

Vậy tứ giác AEHD nội tiếp một đường tròn.

### b) Chứng minh 4 điểm B, E, D, C cùng thuộc 1 đường tròn

Ta cần chứng minh rằng tứ giác BEDC nội tiếp. Tứ giác BEDC sẽ nội tiếp nếu góc BEC + góc BDC = 180 độ.

- **Xét góc BEC**: Là góc giữa đường cao CE và cạnh AB, tức là góc A.
- **Xét góc BDC**: Là góc giữa đường cao BD và cạnh AC, tức là góc C.

Ta có:
\[ \angle BEC + \angle BDC = \angle A + \angle C = 180^\circ - \angle B \]

Vậy tứ giác BEDC cũng nội tiếp một đường tròn.

### c) So sánh BC và DE

Để so sánh độ dài BC và DE, ta sử dụng tính chất của tam giác nhọn.

Trong tam giác ABC nhọn, hai đường cao BD và CE sẽ tạo thành các cạnh DE (cạnh đáy trong tam giác ADE) và BC (cạnh đáy trong tam giác BEC).

Dễ thấy rằng, theo định lý đường cao trong tam giác (cũng như tính chất về tỉ lệ các đoạn thẳng), ta có:
\[ DE < BC \]

Bởi vì DE nằm giữa hai đường cao CE và BD, còn BC là cạnh đối diện trong tam giác được tạo thành từ các đường cao.

### Kết luận

- **a)** 4 điểm A, E, H, D cùng thuộc 1 đường tròn.
- **b)** 4 điểm B, E, D, C cùng thuộc 1 đường tròn.
- **c)** BC > DE.

Hy vọng phần giải thích trên giúp bạn hiểu rõ về bài toán và các yêu cầu của nó!