Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo trình tự như sau:

### a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật.

Trong tam giác vuông \( \Delta ABC \) với góc vuông tại A, ta có:
- \( AB \) là cạnh kề,
- \( AC \) là cạnh đối diện.

- Đường thẳng \( Bx \) được kẻ song song với \( AC \) tại B, và đường thẳng \( Cy \) được kẻ song song với \( AB \) tại C. Khi đó, tứ giác \( ABDC \) có tính chất sau:
+ Góc \( DAB \) = góc \( ABC \) (so le trong) = 90°
+ Góc \( ADC \) = góc \( ACB \) (so le trong) = 90°

Từ đó, cả hai góc \( DAB \) và \( ADC \) đều bằng 90°, suy ra tứ giác \( ABDC \) có 4 góc vuông. Theo định nghĩa, tứ giác có 4 góc vuông chính là hình chữ nhật.

### b) Gọi M là điểm đối xứng với D qua C. Chứng minh tứ giác CIAM là hình thang.

- Để chứng minh tứ giác \( CIAM \) là hình thang, ta cần chứng minh hai cạnh kề (hoặc hai góc kề) của tứ giác là song song.
- Bởi vì M đối xứng với D qua C, ta có:
+ Diện tích đoạn CD = diện tích đoạn CM (do tính chất đối xứng).

- Xét góc \( CIA \) và góc \( CMA \):
+ Góc \( CIA \) = góc \( DAB \) = 90°.
+ Góc \( CMA \) = góc \( ADC \) = 90°.

Vì vậy, hai cặp cạnh \( CI \) và \( AM \) song song.

Do đó, tứ giác \( CIAM \) là hình thang với hai cạnh \( CI \) và \( AM \) song song.

### c) Tìm điều kiện của ∆ABC đề tứ giác CIAM là hình thang cân.

Tứ giác \( CIAM \) là hình thang cân nếu độ dài hai cạnh song song bằng nhau, tức là:
\[ CI = AM. \]

- Từ tam giác vuông \( \Delta ABC \):
+ Giả sử \( C \) có tọa độ \((0,h)\), \( A \) có tọa độ \((0,0)\), và \( B \) có tọa độ \((b, 0)\).

Tính \( CI \) và \( AM \):
- Độ dài \( CI = AC \) (trong tam giác vuông \( \Delta ABC \)):
\( AC = h \).

- Đoạn \( AM \):
+ Với \( M \) là đối xứng của \( D \) qua C thì \( M \) có tọa độ thỏa mãn.

Điều kiện \( CI = AM \) cho chúng ta thông tin về độ dài hai cạnh này.

### d) Biết diện tích tam giác ABC là 12 cm², tính diện tích tứ giác CIAM.

Diện tích tam giác vuông \( \Delta ABC \) được tính bằng:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = 12 \text{ cm}^2.
\]

Diện tích tứ giác \( CIAM \) sẽ bằng diện tích tam giác \( \Delta ABC \) cộng với diện tích của tam giác \( \Delta ACM \).

Do tứ giác \( CIAM \) bao gồm hai tam giác mà:
- \( S_{CIAM} = S_{ABC} + S_{ACM}\)

Ta sẽ cần xác định diện tích thêm từ các thông tin trên để hoàn thiện bài toán. Diện tích \( S_{ACM} \) sẽ phụ thuộc vào các cạnh của tam giác.

**Kết luận:** Dựa vào các thông tin sẵn có và dân số, ta có thể tính được diện tích của tứ giác \( CIAM \) từ 12 cm² và các diện tích đo từ tam giác phụ.

Nếu bạn cần giải cụ thể cho các diện tích (S) hoặc có thông tin thêm về chiều dài cạnh, có thể cung cấp thêm để tôi có thể giúp đỡ tốt hơn!