Để chứng minh các kết quả đã cho, ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình học trong tam giác vuông, đặc biệt là liên quan đến đường tròn và các đoạn thẳng.

### Chứng minh a)
Ta có tam giác vuông \( \Delta ABC \) với \( \angle A = 90^\circ \) và đường cao \( AH \).

1. Từ định lý Pytago, ta có:
\[
AB^2 = AD^2 + AH^2 \quad (1)
\]
và
\[
AC^2 = AE^2 + AH^2 \quad (2)
\]

2. Từ các đường tròn được vẽ, ta có:
- Đường tròn (I) có đường kính \( BH \) ⇒ \( AD \) là đoạn thẳng vuông góc với \( BH \) tại điểm D, do đó:
\[
AD^2 + DH^2 = AB^2 \quad (3)
\]
- Đường tròn (K) có đường kính \( CH \) ⇒ \( AE \) là đoạn thẳng vuông góc với \( CH \) tại điểm E, do đó:
\[
AE^2 + EH^2 = AC^2 \quad (4)
\]

3. Từ (1) và (3):
\[
AD^2 = AB^2 - AH^2
\]
và từ (2) và (4):
\[
AE^2 = AC^2 - AH^2
\]

4. Do \( AH^2 = AD \cdot AB \) và \( AH^2 = AE \cdot AC \), ta có:
\[
AD \cdot AB = AE \cdot AC
\]

Biểu thức này đã được chứng minh.

### Chứng minh b)
Ta sẽ chứng minh rằng \( DE \) là tiếp tuyến chung của (I) và (K), sử dụng định nghĩa của tiếp tuyến.

1. Để làm được điều này, ta sử dụng tính chất của tiếp tuyến. Ta cần chứng minh rằng:
\[
\angle ADB = \angle AID \quad \text{và} \quad \angle AEC = \angle AKE
\]

2. Từ đường tròn (I), ta có:
- Gọi \( O_I \) là tâm của (I).
- Do tính chất của tiếp tuyến và bán kính, \( AD \) là tiếp tuyến tại D thì \( \angle AID = 90^\circ \).

3. Tương tự, Đối với đường tròn (K):
- Gọi \( O_K \) là tâm của (K).
- Ta cũng có \( \angle AKE = 90^\circ \).

4. Do đó, \( DE \) vuông góc với các bán kính tại điểm tiếp xúc, tức là \( DE \) là tiếp tuyến chung.

### Chứng minh c)
Để chứng minh rằng tứ giác \( BDEC \) nội tiếp.

1. Tứ giác nội tiếp nếu tổng hai góc đối diện của nó bằng \( 180^\circ \).

2. Ta có:
- Từ \( \angle ADB \) và \( \angle AEC \): do chúng là các góc vuông (từ các tiếp tuyến), và tổng \(\angle ADB + \angle AEC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\).

3. Do đó, tứ giác \( BDEC \) là tứ giác nội tiếp.

Tóm lại, chúng ta đã hoàn thành chứng minh cho cả ba câu hỏi được đưa ra.