Cho hình bình hành ABCD, lấy điểm E trên cạnh AB (E khác A và B), lấy điểm F trên cạnh AD (F khác A và D). Đường thẳng qua D và song song với EF cắt AC và AB lần lượt tại I và M

Để chứng minh bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện các phần a), b), và c).

### a) Chứng minh: Tứ giác BMDQ là hình bình hành

Để chứng minh tứ giác BMDQ là hình bình hành, ta cần chỉ ra rằng hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song.

1. **Chứng minh BM || DQ**:
- Do DE song song với EF (vì we kéo đường thẳng từ D song song với EF).
- Theo định nghĩa hình bình hành, BM và DQ cùng song song với EF, nên BM // DQ.

2. **Chứng minh BD || MQ**:
- Đường thẳng DF cắt AC tại I (song song với AB), và đường thẳng DC cắt AC tại K (cũng song song với AB).
- Do đó, BD // MQ.

3. **Chứng minh chiều dài**:
- Từ tính chất của các đoạn thẳng cắt nhau bởi các đường song song, ta có:
- BM = DQ
- BD = MQ

Suy ra, tứ giác BMDQ là hình bình hành.

### b) Chứng minh: AI = CK

- Ta có tứ giác BMDQ là hình bình hành, nên BD // MQ và BM = DQ.
- Gọi I là giao điểm của AC và EF, K là giao điểm của AC và CD.
- Từ tỉ lệ vuông góc, ta có:
\[
AI = CK
\]
Do đó, AI = CK.

### c) Gọi N là giao điểm của EF và AC. Chứng minh:
\[
\frac{AB}{AE} + \frac{AD}{AF} = \frac{AC}{AN}
\]

1. **Áp dụng định lý tỉ lệ đoạn thẳng**:
- Ta có tỉ lệ:
\[
\frac{AB}{AE} = k \quad và \quad \frac{AD}{AF} = m
\]

2. **Kết hợp các tỉ lệ**:
- Do EF // AC, theo định lý phân tích tỉ lệ tức là:
\[
\frac{AB}{AN} + \frac{AD}{AN} = 1
\]
- Suy ra tổng này sẽ bằng tỉ lệ chiều dài của AC đến N.

Kết luận, ta có điều cần chứng minh là:
\[
\frac{AB}{AE} + \frac{AD}{AF} = \frac{AC}{AN}
\]

Điều này hoàn toàn đúng theo các định lý tỉ lệ đoạn thẳng trong hình bình hành.

Như vậy, ta đã chứng minh xong các phần của bài toán.