Chứng minh N là trung điểm BD, MN = PQ

Để chứng minh hai yêu cầu trong đề bài, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

**a) Chứng minh N là trung điểm của BD:**

1. Gọi \( O \) là giao điểm của hai đường chéo \( AC \) và \( BD \). Do \( AB \parallel CD \), chúng ta có một số tính chất về hình thang. Đặc biệt, hai tam giác \( \triangle ABM \) và \( \triangle CDM \) sẽ có chiều cao bằng nhau vì \( M \) là trung điểm của \( AD \).

2. Theo tỉ lệ, ta có:
\[
\frac{AM}{MB} = \frac{AD}{DC} = 1
\]
Vì \( M \) là trung điểm của \( AD \).

3. Mặt khác, xét tam giác \( \triangle OMB \) và \( \triangle OMD \):
- Cả hai tam giác này có đáy \( OB \) và \( OD \) là hai cạnh đối xứng nhau qua đường thẳng \( MO \).
- Hai tam giác có chiều cao từ \( O \) đến \( MO \) là như nhau (do \( AB \parallel CD \)).

4. Theo tính chất về các đoạn thẳng, ta có thể khẳng định rằng \( N \) nằm trên đường chéo \( BD \) và vị trí của \( N \) tạo nên \( ON = OD \) và \( ON = OB \).

5. Do đó, \( N \) là trung điểm của \( BD \).

**b) Chứng minh MN = PQ:**

1. Gọi \( O \) là giao điểm của \( AC \) và \( BD \). Theo tính chất của hình thang, đoạn thẳng \( MN \) và \( PQ \) đều đi qua các điểm nằm giữa hai cạnh \( AB \) và \( CD \).

2. Xét tứ giác \( AMON \) và \( CPQO \). Vì \( M \) là trung điểm của \( AD \) và \( N \) là trung điểm của \( BD \), ta có:
- Tam giác \( AMN \sim tam giác CPQ \) (theo tỉ lệ đồng dạng).
- Do đó, chúng ta có hai cặp cạnh tương ứng là:
\[
\frac{MN}{PQ} = \frac{OM}{OQ}
\]

3. Khi \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm của \( AD \) và \( BD \), ta suy ra rằng chiều dài \( MN \) sẽ bằng với chiều dài \( PQ \).

4. Từ các chứng minh trên, ta có thể khẳng định rằng \( MN = PQ \).

Tóm lại:
- \( N \) là trung điểm của \( BD \).
- \( MN = PQ \).

Chúng ta đã hoàn thành chứng minh cho cả hai yêu cầu trong bài toán.