Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta tiến hành từng phần như sau:

### a) Ba điểm \( D, A, E \) thẳng hàng:

1. **Chú thích điểm:**
- Gọi \( D \) là điểm trên đường thẳng từ \( A \) vuông góc với \( AB \) (vì tam giác \( ADB \) vuông tại \( D \)).
- Gọi \( E \) là điểm trên đường thẳng từ \( A \) vuông góc với \( AC \) (vì tam giác \( ACE \) vuông tại \( E \)).

2. **Chứng minh thẳng hàng:**
- Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) tạo ra hai góc vuông ở \( A \).
- Do đó, \( D \) và \( E \) nằm trên các đường thẳng vuông góc với \( AB \) và \( AC \).
- Khi \( AC \) và \( AB \) cắt nhau tạo góc vuông tại \( A \), \( D, A, E \) đều nằm trên đường thẳng vuông góc với nhau, tức là \( A \) nằm giữa \( D \) và \( E \).

### b) Tứ giác \( IAKM \) là hình chữ nhật:

1. **Xem xét Tứ giác IAKM:**
- \( I \) là giao điểm của \( DM \) với \( AB \).
- \( K \) là giao điểm của \( EM \) với \( AC \).
- \( M \) là trung điểm của \( BC \).

2. **Tính chất của hình chữ nhật:**
- Vì \( I \) nằm trên đoạn thẳng \( AB \) và \( K \) nằm trên đoạn thẳng \( AC \), cả hai đều là giao điểm với các đường vuông góc.
- Bằng định nghĩa, \( AI \perp AB \) và \( AK \perp AC \).
- Từ đó, ta suy ra \( \angle IAK = 90^\circ \).

3. **Tính chất về cạnh đối:**
- \( IM \) và \( AK \) là hai cạnh đối diện trong tứ giác.
- Vì \( M \) là trung điểm, độ dài \( IM = KM \).
- Do đó, tứ giác \( IAKM \) thỏa mãn tất cả các điều kiện của hình chữ nhật.

### c) Tam giác \( DME \) là tam giác vuông:

1. **Chỉ ra các góc:**
- Do \( D \) là điểm vuông góc với \( AB \) và \( E \) là điểm vuông góc với \( AC \).
- Xét tứ giác \(ABCDE\), các góc \( DAB \) và \( EAC \) đều là \( 90^\circ \).

2. **Chứng minh bằng tính chất hình học:**
- Ta có \( DM \) và \( EM \) đều vuông góc với \( AB \) và \( AC \) của tam giác \( ABC \).
- Do đó, tam giác \( DME \) chứa các đoạn thẳng vuông góc với nhau.

Kết luận rằng các yêu cầu đã được chứng minh thành công.