Để tìm phần nguyên của tổng \( M = \frac{3}{4} + \frac{8}{9} + \frac{15}{16} + \ldots + \frac{9999}{10000} \), trước tiên chúng ta cần xác định công thức tổng quát của các hạng tử trong dãy này.

Ta có thể nhận thấy rằng:
- Hạng tử đầu tiên là \( \frac{3}{4} \).
- Hạng tử thứ hai là \( \frac{8}{9} \).
- Hạng tử thứ ba là \( \frac{15}{16} \).

Tìm hiểu n_th hạng tử:
- Hạng tử thứ \( n \) có dạng \( \frac{n^2 + n}{n^2} = 1 + \frac{n}{n^2} = 1 + \frac{1}{n} \).

Tổng số lượng các hạng tử từ 1 đến 9999 là 9999, do đó tổng \( M \) có thể được tính toán như sau:

\[
M = \sum_{n=1}^{9999} \left(1 + \frac{1}{n}\right) = \sum_{n=1}^{9999} 1 + \sum_{n=1}^{9999} \frac{1}{n}.
\]

Trong đó:
\[
\sum_{n=1}^{9999} 1 = 9999,
\]
và tổng \( \sum_{n=1}^{9999} \frac{1}{n} \) là tổng của các số nghịch đảo, gọi là hàm số sinh \( H_{9999} \) (hàm số Harmonic).

Hàm số Harmonic được xấp xỉ bởi \( H_n \approx \ln(n) + \gamma \) (với \( \gamma \) là hằng số Euler-Mascheroni, xấp xỉ 0.577):

\[
H_{9999} \approx \ln(9999) + 0.577 \approx 9.210 + 0.577 \approx 9.787.
\]

Cộng hai kết quả lại, ta có:

\[
M \approx 9999 + 9.787 \approx 10008.787.
\]

Phần nguyên của \( M \) sẽ là 10008.

Vậy, phần nguyên của \( M \) là \( \boxed{10008} \).