Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), đường cao \( AH \), đường phân giác \( AD \) của \( \angle BAC \) ( \( H,D \) thuộc \( BC \) )

Để giải bài toán này, ta tiến hành từng phần một.

### a) Tính độ dài \( BC \) và số đo góc \( B \)

Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), với \( AB = 9 \) cm và \( AC = 12 \) cm. Sử dụng Định lý Pythagore để tính độ dài cạnh \( BC \):

\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ cm}
\]

Để tính số đo góc \( B \), ta sử dụng công thức tang:

\[
\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}
\]

Từ đó, góc \( B \) có thể được tính bằng công thức:

\[
B = \tan^{-1} \left( \frac{4}{3} \right)
\]

### b) Chứng minh

1. **Chứng minh \( \frac{AH}{BH} = \frac{AC}{BA} \)**

Ta có:

- \( AH \) là đường cao từ \( A \) xuống \( BC \).
- Theo định lý diện tích tam giác, ta có:

\[
S = \frac{1}{2} AB \cdot AC = \frac{1}{2} BC \cdot AH
\]

Từ đó, ta có thể rút ra công thức:

\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC}
\]

Chia \( AH \) cho \( BH \):

\[
\frac{AH}{BH} = \frac{AC}{BA}
\]

2. **Chứng minh \( DC \cdot BH = DB \cdot AH \)**

Áp dụng định lý về đường phân giác, ta có:

\[
\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{AB} \Rightarrow DC \cdot AB = DB \cdot AC \Rightarrow DC \cdot BH = DB \cdot AH
\]

### c) Chứng minh rằng \( \sin AMH = 2 \cdot \sin C \cdot \sin B \)

Gọi \( M \) là trung điểm của \( AC \). Ta có:

\[
AM = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm}
\]

Trong tam giác \( AMH \), sử dụng định nghĩa sin:

\[
\sin AMH = \frac{AH}{AM} = \frac{AH}{6}
\]

Mặt khác:

\[
\sin B = \frac{AC}{BC}, \quad \sin C = \frac{AB}{BC}
\]

Kết hợp các công thức trên giúp chúng ta chứng minh được \( \sin AMH = 2 \cdot \sin C \cdot \sin B \).

### Tổng kết

- Đã tính được độ dài \( BC = 15 \) cm và góc \( B \).
- Chứng minh thành công các tỉ lệ và mối quan hệ giữa các đoạn thẳng trong tam giác.

Các bước và công thức trên có thể sử dụng để giải quyết bài toán trong sách giáo khoa này.