Cho \( x > 1 \). Chứng minh rằng \( x + \frac{1}{x - 1} \geq 3 \)

Để chứng minh bất đẳng thức \( x + \frac{1}{x - 1} \geq 3 \) với \( x > 1 \), ta có thể sử dụng phương pháp biến đổi và suy luận.

Bắt đầu, chúng ta chuyển vế phải về vế trái để dễ dàng làm việc hơn:

\[
x + \frac{1}{x - 1} - 3 \geq 0
\]

Biến đổi biểu thức này thành:

\[
x - 3 + \frac{1}{x - 1} \geq 0
\]

Khi đó, ta có:

\[
x - 3 \geq -\frac{1}{x - 1}
\]

Để thực hiện điều này, ta cần biểu thức bên trái \( x - 3 \) lớn hơn hoặc bằng \( -\frac{1}{x - 1} \). Điều này sẽ đúng nếu cả hai vế cùng mang dấu.

Ta thử xét trường hợp \( x - 3 = 0 \):

\[
x = 3 \implies x > 1
\]

Từ \( x = 3 \), ta có:

\[
x - 3 \geq 0 \text{ khi } x \geq 3
\]

Xét trường hợp \( 1 < x < 3 \):

Khi đó, ta khảo sát xem \( x - 3 \) sẽ nhỏ hơn 0 nhưng với \( x \) gần 1, \( \frac{1}{x - 1} \) sẽ lớn dần. Hãy xem xét tại các điểm giới hạn.

Thực hiện xét đạo hàm hoặc khảo sát hàm số \( f(x) = x + \frac{1}{x - 1} \):

1. Tính đạo hàm:
\[
f'(x) = 1 - \frac{1}{(x - 1)^2}
\]

2. Giải \( f'(x) = 0 \):
\[
1 - \frac{1}{(x - 1)^2} = 0 \implies (x - 1)^2 = 1 \implies x - 1 = \pm 1
\]
Với \( x > 1 \), ta chỉ lấy giá trị dương là \( x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2 \).

Từ để xác định điểm cực trị, ta khảo sát:

- \( f(2) = 2 + \frac{1}{1} = 3 \) (min).
- \( f(x) \to +\infty \) khi \( x \to 1^+ \) và \( x \to +\infty \).

Vậy, \( f(x) \) đạt giá trị cực tiểu bằng 3 tại \( x = 2 \) và tăng dần cho \( x > 2 \).

Do đó, ta có được \( f(x) \geq 3 \) cho mọi \( x > 1 \).

Vậy ta đã chứng minh được:

\[
x + \frac{1}{x - 1} \geq 3 \quad \forall x > 1
\]

Kết thúc chứng minh.