Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán hình học, ta tiến hành như sau:

### a) Chứng minh tam giác AMN cân

1. **Xác định các điểm**:
- A là đỉnh của tam giác vuông.
- H là chân đường cao, từ A hạ xuống BC.
- E là trung điểm của HM, N là trung điểm của HN.

2. **Chứng minh AM = AN**:
- Bởi vì E là trung điểm của HM và F là trung điểm của HN, ta có:
\[
HE = EM \quad \text{và} \quad HF = FN
\]
- Từ đó, trong hai tam giác HEM và HFN, có:
\[
HE = HF \quad (\text{đều vuông góc với AB và AC})
\]
\[
HM = HN \quad (\text{vì H là chân đường cao})
\]
- Suy ra hai tam giác HEM và HFN bằng nhau theo tiêu chí cạnh - cạnh - cạnh (CC). Do đó, AM = AN.

### b) Chứng minh MN // EF

1. **Chứng minh MN và EF song song**:
- Ta có HE ⊥ AB và HF ⊥ AC.
- Công thức tổng quát cho hai đường thẳng: Nếu hai đường thẳng đều vuông góc với một đường thẳng thứ ba, thì chúng song song với nhau.
- Do đó, MN // EF.

### c) Chứng minh AI ⊥ EF

1. **Điểm I là trung điểm của MN**:
- Vì M và N là hai điểm và I là trung điểm của MN, ta có I nằm chính giữa MN.

2. **Chứng minh AI vuông góc với EF**:
- Từ tính chất của tam giác và đường vuông góc, ta thấy rằng, EF là đường thẳng vuông góc với hai cạnh AB và AC.
- Do đó, AI sẽ vuông góc với EF, bởi vì AI là đường cao xuống EF từ điểm A.

### Kết luận
Ta đã chứng minh:
- Tam giác AMN là tam giác cân.
- MN song song với EF.
- AI vuông góc với EF.

Bài toán đã được giải quyết hoàn thiện.