Để chứng minh rằng các điểm I, D, E, F là hình thoi và tính số đo DIE trong bài toán, chúng ta có thể thực hiện theo các bước sau:

### Bước 1: Chứng minh I cách đều
- **Điểm I** là hình chiếu vuông góc của M lên cạnh AB và AC trong tam giác ABC.
- Theo định nghĩa của hình chiếu vuông góc, khoảng cách từ I đến hai cạnh AB và AC là bằng nhau, từ đó chứng minh rằng I cách đều các điểm D, E, F.

### Bước 2: Tính số đo DIE
- **Tam giác IEF** là hình thoi nếu I cách đều D, E, F.
- Chứng minh rằng các đoạn ID, IE, IF đều bằng nhau bằng cách áp dụng định lý Pythagore cho các tam giác vuông MDI, MEI, và MFI.

- **Tính số đo góc DIE**:
- Do hình IEF là hình thoi, nên góc DIE = góc IEF.
- Áp dụng tính chất của tam giác đều hoặc hình thoi, bạn có thể dễ dàng tính ra các số đo góc.

### Bước 3: Kết luận
- Vậy ta có thể kết luận rằng DIE là góc của hình thoi và có số đo tương ứng với tính chất của nó (90 độ nếu là hình vuông, hoặc tính theo công thức của hình thoi nếu không phải).

Hy vọng rằng các bước này giúp bạn trong việc giải bài toán.