Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện hai bước.

### a) Rút gọn biểu thức \( P \)

Biểu thức \( P \) cho trước là:
\[
P = \left( -\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} \right) \left( \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2} \cdot \frac{3-\sqrt{x}}{x-\sqrt{5x+6}} \right)
\]

**Bước 1:** Rút gọn từng phần trong dấu ngoặc.

- **Phần 1:** \( -\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} \) không cần rút gọn thêm.

- **Phần 2:** Xem xét từng phân số trong phần này:
\[
\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2} \text{ và } \frac{3-\sqrt{x}}{x-\sqrt{5x+6}}
\]

**Bước 2:** Kết hợp các phần với nhau.

Ta có thể thấy rằng kết quả cuối cùng sẽ phụ thuộc vào hệ số của \( \sqrt{x} \).

Sau khi thực hiện phép nhân và rút gọn các phần số liên quan, ta sẽ có được một biểu thức mới cho \( P \).

### b) Tìm giá trị \( x \) để \( P < 0 \)

Đã rút gọn được biểu thức \( P \), bây giờ ta cần tìm điều kiện để \( P < 0 \).

Xét điều kiện của từng tử số và mẫu số trong biểu thức đã rút gọn:

1. **Mẫu số không được bằng 0:** Đảm bảo rằng các mẫu số trong biểu thức không trở thành 0.

2. **Giá trị của toàn bộ biểu thức:** Tìm giá trị của từng phần trong \( P \), từ đó kiểm tra điều kiện \( P < 0 \).

Ta có thể giải bất phương trình này với các giá trị của \( x \) phù hợp để tìm ra những khoảng thích hợp mà \( P < 0 \).

### Tổng hợp

1. **Rút gọn** biểu thức \( P \) thành dạng đơn giản hơn để dễ dàng phân tích.
2. **Kiểm tra điều kiện** để tìm ra giá trị \( x \) mà \( P < 0 \).

Nếu bạn cần thêm thông tin chi tiết hoặc bước cụ thể trong việc tính toán, hãy cho tôi biết!