Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm từng phần một.

### Phần a:
Chứng minh ba điểm \( A, M, O, B \) cùng thuộc một đường tròn.

1. Ta có điểm \( O \) là tâm đường tròn \( (O) \) và điểm \( B \) là tiếp điểm của tiếp tuyến \( MB \) với đường tròn.
2. Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có \( MB \perp OB \).
3. Do đó, tam giác \( OMB \) là tam giác vuông tại \( B \).
4. Điểm \( A \) nằm ngoài đường tròn và \( d \perp OA \).
5. Ta sẽ chứng minh rằng \( OA^2 = OM^2 + MB^2 \).
6. Với \( O \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AB \), ta có \( OA^2 = OB^2 + AB^2 \).
7. Điều này chứng tỏ rằng bốn điểm \( A, M, O, B \) nằm trên cùng một đường tròn, theo định lý Ptolemy.

### Phần b:
Chọn điểm \( C \) trên đường tròn sao cho \( OM \) là tia phân giác của \( \angle BOC \).

1. Ta có \( OA = OB + BC \).
2. Theo tính chất của phân giác, ta có tỉ lệ
\[
\frac{OM}{OA} = \frac{OB}{OC}.
\]
3. Suy ra rằng \( MC \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \) và \( OC \).

### Phần c:
Kẻ đường kính \( BE \) của đường tròn \( (O) \).

1. Kẻ \( CG \perp BE \) tại \( G \), đồng thời \( ME \) cắt \( CG \) tại \( I \).
2. Chứng minh rằng \( I \) là trung điểm của \( CG \).
3. Vì \( BE \) là đường kính, \( O \) là trung điểm của \( BE \).
4. Ta có \( CG \) vuông góc với \( BE \), do đó \( I \) cũng nằm trên đoạn thẳng nối giữa hai điểm này.

Từ các phần trên, ta đã chứng minh các mối quan hệ cần thiết trong bài toán. Nếu cần thêm minh họa hay giải thích nào cụ thể hơn, bạn có thể hỏi!