Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( G = a + b + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \) với điều kiện \( a + b \geq 4 \) và \( a, b > 0 \), ta sẽ sử dụng một số phương pháp tối ưu hóa và bất đẳng thức.

### Bước 1: Biểu thức G
Kí hiệu \( S = a + b \) và \( P = ab \), ta có:
\[
G = S + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = S + \frac{a + b}{ab} = S + \frac{S}{P} = S \left( 1 + \frac{1}{P} \right)
\]

### Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất
Để tối ưu hóa, ta có thể dùng bất đẳng thức AM-GM:
\[
\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} \Rightarrow \frac{S}{2} \geq \sqrt{P} \Rightarrow P \leq \frac{S^2}{4}
\]

### Bước 3: Tìm giá trị tối ưu cho \( S \)
Vì \( S \geq 4 \), ta có:
\[
P \leq \frac{S^2}{4}
\]
Từ đó,
\[
\frac{1}{P} \geq \frac{4}{S^2}
\]

Thay vào biểu thức G:
\[
G \geq S + \frac{S}{\frac{S^2}{4}} = S + \frac{4}{S}
\]
Tìm cực trị của hàm \( H(S) = S + \frac{4}{S} \) bằng đạo hàm:
\[
H'(S) = 1 - \frac{4}{S^2} = 0 \Rightarrow S^2 = 4 \Rightarrow S = 2 \quad (\text{không thỏa mãn } S \geq 4)
\]
Ta kiểm tra giá trị tại điểm biên:
\[
H(4) = 4 + \frac{4}{4} = 5
\]

### Bước 4: Tìm các giá trị khác
Kiểm tra với \( S \to \infty \):
\[
H(S) \to \infty
\]
Vậy giá trị nhỏ nhất của \( G \) xảy ra tại \( S = 4 \), tức là \( a + b = 4 \) và \( a, b > 0 \).

Khi \( a = b = 2 \):
\[
G = 4 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 5
\]

Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( G \) là \( \boxed{5} \).

---

Đối với bài toán thứ hai với điều kiện \( a \geq 4 \), ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \( F = a + \frac{4}{a} \).

### Bước 1: Tìm cực trị của F
Tính đạo hàm của \( F \):
\[
F'(a) = 1 - \frac{4}{a^2} = 0 \Rightarrow a^2 = 4 \Rightarrow a = 2 \quad (\text{không thỏa mãn } a \geq 4)
\]

### Bước 2: Kiểm tra tại \( a = 4 \)
Tính giá trị tại \( a = 4 \):
\[
F(4) = 4 + \frac{4}{4} = 4 + 1 = 5
\]

### Bước 3: Tìm giới hạn
Khi \( a \to \infty \):
\[
F(a) \to \infty
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( F \) sẽ là tại điểm \( a = 4 \), do đó giá trị nhỏ nhất của \( F \) là \( \boxed{5} \).