Để chứng minh các tính chất trong bài toán này, ta cần sử dụng một số thuộc tính hình học cơ bản.

### a) Chứng minh △AMN là tam giác cân

1. **Trung điểm**:
- E là trung điểm của HM nên \( HE = EM \).
- F là trung điểm của HN nên \( HF = FN \).

2. **Tính chất cạnh**:
- Ta có \( HE \perp AB \) và \( HF \perp AC \), suy ra tam giác \( AHE \) và \( AHF \) đều vuông.

3. **Chứng minh các cạnh**:
- Với \( AH \) là đường cao, ta có các góc \( \angle AHE = \angle AHF \).
- Do \( HE = EM \) và \( HF = FN \) nên \( AM = AN \).

Do đó, ta có \( AM = AN \) nên \( \triangle AMN \) là tam giác cân tại A.

### b) Chứng minh MN // EF

1. **Cạnh vuông góc**:
- \( HE \perp AB \) và \( HF \perp AC \), điều này cho thấy rằng \( MN \) sẽ vuông góc với đường nối từ A đến EF tại I.

2. **Đường song song**:
- Vì \( HE \) và \( HF \) lần lượt vuông góc với các cạnh và điểm E, F là trung điểm, nên \( MN \) sẽ song song với EF.

### c) Chứng minh AI ⊥ EF

1. **Cạnh vuông góc**:
- Từ chứng minh ở phần b), ta đã biết rằng MN // EF.

2. **Góc vuông**:
- Với \( I \) là giao điểm của MN, đường thẳng AI sẽ vuông góc với EF do tính chất của điểm trong các tam giác vuông như trên đã chứng minh.

### Kết luận:
- A đã chứng minh thành công 3 yêu cầu a, b, c của bài toán.