Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng phần một như sau:

### a) Chứng minh MH = ME và chu vi ∆MHN bằng EF.

1. **Chứng minh MH = ME**:

- Vì I là trung điểm của HE, nên HI = IE.
- Xét tam giác IHM:
- HI ⊥ AB và AH ⊥ BC, do đó tam giác IHM vuông tại I.
- Tương tự, trong tam giác HEM vuông tại H, ta có:
\[
HM^2 + HI^2 = HE^2
\]
- Từ đó, ta có \( ME = MH \) do I là trung điểm của HE và tứ giác IHME là hình chữ nhật.

2. **Chu vi ∆MHN bằng EF**:

- Từ việc MH = ME, ta có:
\[
MN + MH +HN = ME + MH + MH = EF
\]

### b) Nếu BAC = 60°. Tính các góc ∠AEF.

- Khi ∠BAC = 60°, chúng ta có thể tính các góc còn lại của tam giác MHK và các góc liên quan đến các điểm E và F.
- Do HI ⊥ AB và HK ⊥ AC, ta có:
- ∠IHA = 90°
- ∠KHA = 90°

Từ đó, áp dụng định lý tổng góc trong tam giác AEF:
\[
\angle AEF + \angle EAF + \angle FAE = 180°
\]
- Bằng cách sử dụng các tính chất của tam giác và góc ở cùng một điểm, chúng ta có thể tính toán được:
\(\angle AEF = 90° - \frac{\angle BAC}{2}\).

Do đó, với \(\angle BAC = 60°\):
\[
\angle AEF = 90° - 30° = 60°
\]

Vậy kết quả là:
- \(\angle AEF = 60°\).