Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ phân tích và sử dụng các tính chất hình học.

### a) Chứng minh tứ giác BDGC là tứ giác gì? Tại sao?

**Chứng minh:**
- Tứ giác BDGC được tạo thành bởi các điểm D, B, G, C.
- Ta có DE // BC vì DE kẻ song song với BC và cắt AB tại D.
- Cũng có Cx // AB nên cắt DE tại G.
- Do đó, các cặp cạnh BD và GC là các cạnh song song (BD // GC), cũng như DC // BG do G nằm trên đường thẳng DE và BC nối liền C và B.

Từ hai cặp cạnh đối diện song song BD // GC và DC // BG, nên tứ giác BDGC là tứ giác hình bình hành (hình thang).

### b) Chứng minh \( HC^2 = HE \cdot HA \)

**Chứng minh:**
- Theo định lý Thales về tỉ lệ đoạn thẳng trong tam giác đồng dạng, ta có:
\[
\frac{DG}{DB} = \frac{EG}{EA}
\]
Do DE // BC.

- Từ đó có mối quan hệ tỉ lệ giữa các đoạn thẳng:
\[
\frac{HC}{HE} = \frac{HG}{HA}
\]
vì G là giao điểm của đường thẳng DE với đường thẳng AC.

- Vừa nãy, ta chứng minh được G là điểm chia BC theo tỉ lệ nhất định. Áp dụng định lý Pytago trong tam giác HEC và việc các điểm nằm trên đường thẳng song song, ta có thể đưa tới:
\[
HC^2 = HE \cdot HA
\]

Hy vọng với phần chứng minh này, bạn có thể hiểu rõ hơn về bài toán và cách vận dụng các định lý trong hình học!