Để chứng minh rằng \( MI = IK = KN \) trong tam giác \( ABC \) với các đường trung tuyến \( BD \) và \( CE \), ta sẽ sử dụng một số tính chất cơ bản của tam giác và các trung điểm.

1. **Xác định các điểm**:
- Gọi \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm của \( BE \) và \( CD \).
- Điểm \( I \) là giao điểm của đường thẳng \( MN \) với \( BD \).
- Điểm \( K \) là giao điểm của đường thẳng \( MN \) với \( CE \).

2. **Sử dụng Tính chất trung tuyến**:
- Trong tam giác, đã có các trung tuyến \( BD \) và \( CE \) chia tam giác ra làm hai phần có diện tích bằng nhau.
- M, N là trung điểm của cạnh \( BE \) và \( CD \), vì vậy \( MN \) là đoạn thẳng nối hai trung điểm.

3. **Xét các đoạn thẳng**:
- Bởi vì \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm của \( BE \) và \( CD \), nên đoạn thẳng \( MN \) song song với cạnh \( AC \) và bằng nửa chiều dài cạnh \( AC \) (theo định lý trung bình trong tam giác).
- Do đó, khi vẽ đoạn thẳng \( MN \) cắt các trung tuyến \( BD \) và \( CE \), các đoạn như \( MI, IK, KN \) đều được phân chia tỉ lệ bởi những đoạn thẳng song song này.

4. **Áp dụng định lý Thales**:
- Do các đoạn thẳng song song và đoạn thẳng cắt, dựa vào định lý Thales, ta có \( \frac{MI}{IK} = \frac{BD}{BE} \) và \( \frac{IK}{KN} = \frac{CE}{CD} \).
- Vì \( M \) và \( N \) là trung điểm của \( BE \) và \( CD \), nên \( BD = BE \) và \( CE = CD \).

5. **Kết luận**:
- Từ \( \frac{MI}{IK} = 1 \) và \( \frac{IK}{KN} = 1 \) ta suy ra được \( MI = IK = KN \).

Vậy ta đã chứng minh rằng \( MI = IK = KN \).