Để chứng minh rằng \( ME \parallel NF \) và \( ME = NF \), ta sẽ áp dụng định lý về trung điểm và tính chất của tam giác.

### Bước 1: Thiết lập tọa độ

Giả sử \( A(0,0) \), \( B(b,0) \), \( C(c,h) \).

Từ đó:
- \( M \) là trung điểm của \( AB \) nên \( M\left(\frac{b}{2}, 0\right) \).
- \( N \) là trung điểm của \( BC \) nên \( N\left(\frac{b+c}{2}, \frac{h}{2}\right) \).
- Từ \( D \) là trung điểm của \( AC \), ta có \( D\left(\frac{c}{2}, \frac{h}{2}\right) \).
- \( E \) là trung điểm của \( AD \) nên \( E\left( \frac{0 + \frac{c}{2}}{2}, \frac{0 + \frac{h}{2}}{2} \right) = \left( \frac{c}{4}, \frac{h}{4} \right) \).

### Bước 2: Tính toán

**Tọa độ của điểm \( F \)**, là trung điểm của \( DC \):
\[ F\left( \frac{\frac{c}{2} + c}{2}, \frac{\frac{h}{2} + h}{2} \right) = \left( \frac{3c}{4}, \frac{3h}{4} \right) \]

### Bước 3: Xác định phương trình vector

**Vector \( ME \) và \( NF \)**:

- **Vector \( ME \)**:
\[ ME = E - M = \left( \frac{c}{4} - \frac{b}{2}, \frac{h}{4} - 0 \right) = \left(\frac{c - 2b}{4}, \frac{h}{4}\right) \]

- **Vector \( NF \)**:
\[ NF = F - N = \left( \frac{3c}{4} - \frac{b+c}{2}, \frac{3h}{4} - \frac{h}{2} \right) = \left( \frac{3c - 2b - c}{4}, \frac{h}{4}\right) = \left( \frac{2c - 2b}{4}, \frac{h}{4} \right) \]

### Bước 4: So sánh vector

Ta thấy:
\[ ME = \left(\frac{c - 2b}{4}, \frac{h}{4}\right) \]
\[ NF = \left( \frac{2(c - b)}{4}, \frac{h}{4}\right) \]

Do đó,
\[ ME = \frac{1}{2} NF \]

### Kết luận

Vậy \( ME \parallel NF \) và \( ME = \frac{1}{2} NF \), từ đó \( ME = NF \).

Như vậy đã chứng minh được:
\[ ME \parallel NF \text{ và } ME = NF. \]