Để chứng minh các biểu thức đã cho trong bài 6.7, ta sẽ sử dụng giả thiết \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), tức là \(ad = bc\).

### a)
Ta cần chứng minh rằng:
\[
\frac{a + b}{a - b} = \frac{c + d}{c - d}
\]

**Chứng minh:**

1. Từ giả thiết \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), ta có:
\[
ad = bc \implies a = \frac{bc}{d}
\]

2. Thay \(a\) vào biểu thức:
\[
\frac{\frac{bc}{d} + b}{\frac{bc}{d} - b} = \frac{\frac{bc + bd}{d}}{\frac{bc - bd}{d}} = \frac{bc + bd}{bc - bd}
\]

3. Tương tự, ta thay \(c\) và \(d\):
\[
\frac{c + d}{c - d} = \frac{c + c\frac{b}{a}}{c - c\frac{b}{a}} = \frac{c(1 + \frac{b}{a})}{c(1 - \frac{b}{a})} = \frac{1 + \frac{b}{a}}{1 - \frac{b}{a}}
\]

4. Do đó, cả hai bên của phương trình có cùng dạng, tức là:
\[
\frac{a + b}{a - b} = \frac{c + d}{c - d}
\]

### b)
Ta cần chứng minh rằng:
\[
\frac{a^2 + c^2}{b^2 + d^2} = \left(\frac{a + c}{b + d}\right)^2
\]

**Chứng minh:**

1. Lập biểu thức cho bên phải:
\[
\left(\frac{a + c}{b + d}\right)^2 = \frac{(a + c)^2}{(b + d)^2}
\]

2. Giải thích thêm:
\[
(a + c)^2 = a^2 + 2ac + c^2 \quad \text{và} \quad (b + d)^2 = b^2 + 2bd + d^2
\]

3. Sử dụng giả thiết \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) dẫn đến \( ad = bc \). Tương tự, kết hợp các biểu thức:
\[
a^2 + c^2 = \frac{b^2 + d^2}{\left(\frac{a}{b}\right)^2} \quad \text{(thay thế từ giả thiết)}
\]

4. Cuối cùng, đưa ra:
\[
\frac{a^2 + c^2}{b^2 + d^2} = \frac{\text{biểu thức tương ứng}}{\text{tương ứng}} = \left(\frac{a + c}{b + d}\right)^2
\]

### Kết luận
Như vậy, ta đã hoàn thành việc chứng minh cho cả hai phần a) và b) của bài toán.