Để tìm các số tự nhiên \( n > 2 \) sao cho \( n^3 - 8 \) là một số nguyên tố, trước tiên ta có thể viết lại biểu thức \( n^3 - 8 \) như sau:

\[
n^3 - 8 = n^3 - 2^3 = (n - 2)(n^2 + 2n + 4)
\]

Như vậy, \( n^3 - 8 = (n - 2)(n^2 + 2n + 4) \). Để \( n^3 - 8 \) là một số nguyên tố, một trong hai yếu tố trong phép nhân này phải bằng 1, vì só nguyên tố chỉ có hai ước số là 1 và chính nó.

1. **Trường hợp \( n - 2 = 1 \)**:

\[
n - 2 = 1 \implies n = 3
\]

Khi \( n = 3 \):

\[
n^3 - 8 = 3^3 - 8 = 27 - 8 = 19
\]
19 là một số nguyên tố.

2. **Trường hợp \( n^2 + 2n + 4 = 1 \)**:

\[
n^2 + 2n + 4 = 1 \implies n^2 + 2n + 3 = 0
\]

Phương trình này không có nghiệm thực vì discriminant \( (2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3) = 4 - 12 < 0 \).

Từ đó, chúng ta chỉ tìm được một số nguyên \( n \) thỏa mãn điều kiện là \( n = 3 \).

Kết luận, số nguyên tự nhiên \( n > 2 \) thỏa mãn \( n^3 - 8 \) là một số nguyên tố là \( n = 3 \).