Để rút gọn biểu thức \( P \), ta sẽ tiến hành theo các bước sau:

### Bước 1: Viết lại biểu thức
Biểu thức đã cho là:
\[
P = \left( \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2} \right) \cdot \frac{2\sqrt{x}}{x + 2\sqrt{x}}
\]

### Bước 2: Rút gọn phần trong dấu ngoặc
Tính phần \( \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2} \):
- Đưa về cùng mẫu:
\[
\frac{2(\sqrt{x}+2) + x}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)}
\]
- Tính toán:
\[
= \frac{2\sqrt{x} + 4 + x}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)}
\]
- Ghi lại biểu thức:
\[
= \frac{x + 2\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)}
\]

### Bước 3: Tính biểu thức P
Giờ thay vào biểu thức P:
\[
P = \frac{x + 2\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)} \cdot \frac{2\sqrt{x}}{x + 2\sqrt{x}}
\]
Rút gọn:
\[
= \frac{2\sqrt{x} (x + 2\sqrt{x} + 4)}{(\sqrt{x}+2)(x + 2\sqrt{x})}
\]
- Cần xét xem \( x+2\sqrt{x} \) có phải là bội số của \( x + 2\sqrt{x} + 4 \) không.

### Bước 4: Đơn giản hóa P
Cuối cùng sẽ được:
\[
P = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}
\]

### Bước 5: Tìm giá trị của x khi \( P = 3 \)
Bây giờ ta có:
\[
\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2} = 3
\]
Giải phương trình này bằng cách nhân chéo và rút gọn:
\[
2\sqrt{x} = 3(\sqrt{x}+2)
\]
\[
2\sqrt{x} = 3\sqrt{x} + 6
\]
\[
0 = \sqrt{x} + 6
\]
Kết quả xuyên suốt là:
\[
\sqrt{x} = -6 \quad (\text{không hợp lệ vì } x \geq 0)
\]

Do đó, không có giá trị thực nào của \( x \) khiến \( P = 3 \).

### Kết luận:
- Biểu thức rút gọn là \( P = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2} \).
- Không có giá trị thực nào của \( x \) thỏa mãn \( P = 3 \).