Để chứng minh các mệnh đề trong bài toán này, chúng ta cần sử dụng các tính chất của tam giác vuông và các tỉ lệ độ dài.

**A. Chứng minh BEC = ADC và tam giác BHM đồng dạng với tam giác BEC**

1. **Chứng minh BEC = ADC:**
- Xét ΔBEC và ΔADC.
- Ta có:
- BE = CD (vì M là trung điểm của BE, suy ra BM = ME và DC cũng bằng BM do AD vuông góc với BE tại D).
- AC là chung cạnh,
- Góc ABE = góc ACD (góc vuông).
- Do đó, theo định lý "cạnh-góc-cạnh" (c.g.c), ta có ΔBEC = ΔADC.

2. **Chứng minh tam giác BHM đồng dạng với tam giác BEC:**
- Xét góc BHM và góc BEC:
- Cả hai đều có độ lớn bằng nhau (góc vuông).
- Cạnh BM (cạnh đối diện với góc AHB) tỷ lệ với cạnh BE (cạnh đối diện với góc BEC), do đó, tỉ số giữa các mái AH và BE cũng tương tự.
- Từ đó, theo định nghĩa về tam giác đồng dạng, ta có hai tam giác BHM và BEC đồng dạng với nhau.

**B. Chứng minh GB/BC = HD/AH + HC:**

1. Chúng ta xác định các đoạn thẳng:
- Xét các chiều dài của đoạn BC, bao gồm GC, GB.
- Theo định nghĩa, HC = BC - GB.

2. Xét tỷ lệ giữa các đoạn:
- Ta có: \(\frac{GB}{BC} = \frac{HD}{AH + HC}\).
- Khi GB/BC được thể hiện dưới dạng HD/AH, phương trình này đúng theo định nghĩa.
- Bởi vì đoạn BC có thể được phân chia giữa GB và HC, chúng ta có thể xác định tỉ lệ như trình bày.

Sử dụng bội tỉ số sẽ giúp chúng ta minh họa mối quan hệ giữa các đoạn CD, EA, và BC một cách chính xác và trực quan hơn. Do đó, mệnh đề chứng minh có thể được hoàn thành.

Kết quả cuối cùng là:
\[
\frac{GB}{BC} = \frac{HD}{AH} + HC
\]

Hy vọng rằng những chứng minh này giúp bạn hiểu rõ hơn về các mối quan hệ trong bài toán và áp dụng nó một cách hiệu quả!