Để chứng minh các mệnh đề trong bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh rằng \( AH \perp BC \) và bốn điểm \( A, K, H, C \) cùng thuộc một đường tròn.

1. **Chứng minh \( AH \perp BC \)**:
- Xét tam giác vuông \( \Delta ABC \) với \( A \) là điểm vuông.
- Đường tròn tâm \( O \) đường kính \( AB \) sẽ có \( H \) là giao điểm của \( BC \) với đường tròn.
- Theo định lý Thales, đường kính thì góc chắn bên trong là góc vuông. Do đó, \( \angle AHB = 90^\circ \).
- Vì \( H \) nằm trên \( BC \), ta có \( AH \perp BC \).

2. **Chứng minh bốn điểm \( A, K, H, C \) cùng thuộc một đường tròn**:
- Ta đã chứng minh rằng \( AH \perp BC \), điều này cho thấy \( A \) và \( C \) nằm ở hai phía khác nhau của đường thẳng \( BH \).
- Đường cao \( AK \) kẻ từ \( A \) xuống \( OC \) tạo ra tam giác vuông tại \( K \).
- Theo định lý về bốn điểm, nếu \( K \) là chân đường vuông góc từ \( A \) đến \( OC \) và \( AH \perp BC \), thì bốn điểm này là những điểm trên một đường tròn.

### b) Chứng minh \( CH \cdot CB = CK \cdot CO \).

- Ta sẽ dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông:
- Vì \( AH \perp BC \) và \( K \) là chân đường vuông góc từ \( A \) đến \( OC \), theo định lý Sin, ta có:

\[
CH \cdot CB = AH^2
\]

\[
CK \cdot CO = AK^2
\]

- Do \( AH = AK \) (do tính chất của đường cao), nên:

\[
CH \cdot CB = CK \cdot CO.
\]

### c) Chứng minh \( \angle CKH = \angle OKB \).

- Xét tam giác \( \Delta CKH \):
- \( K \) là chân đường vuông góc từ \( A \) xuống \( OC \) và \( O \) là tâm của đường tròn đường kính \( AB \).
- Góc \( OKB \) tạo bởi bán kính \( OB \) và \( KH \).
- Theo tính chất của các góc tạo bởi đường thẳng cắt đường tròn, ta có \( \angle CKH = \angle OKB \) do \( K \) nằm trên đường tròn.

Tóm lại, các mệnh đề đã được chứng minh.